Torsione dell'arco e scelta delle aste: Pekalski 1990

Lo studio costruisce tre strumenti per studiare il sistema arciere-arco-freccia e li usa per rispondere a due domande pratiche: quanto conta la torsione dell'arco e come si scelgono le aste per un dato arco. Gli strumenti sono un modello matematico del moto della freccia mentre è ancora in contatto con arco e corda, una macchina che lascia la corda al posto dell'arciere, e tre serie di riprese cinematografiche ad alta velocità, fra 1.000 e 2.500 fotogrammi al secondo.

L'autore divide il tiro in due fasi: la fase 1 va dal rilascio della corda al momento in cui la freccia perde contatto con arco e corda, la fase 2 è il volo balistico. La fase 1 è quella su cui tutto il lavoro si concentra, perché è l'unica in cui il sottosistema arciere-arco agisce sulla freccia e perché determina le condizioni iniziali della fase 2.

Il primo risultato quantitativo riguarda la torsione dell'arco attorno all'asse verticale. Misurata con la macchina a 30 metri, la sensibilità del punto d'impatto a quell'angolo è di 15,8 centimetri per grado quando la torsione è negativa e di 21,9 centimetri per grado quando è positiva: una direzione costa il 30% in più dell'altra. Da qui l'autore ricava che, per mettere tutte le frecce nel dieci a 30 metri, l'angolo di torsione va ripetuto entro 0,2 gradi.

Il secondo risultato viene dalla simulazione, confrontando tre aste Easton X7 di diametro diverso, la 15/14, la 17/14 presa come riferimento e la 21/14. Con l'asta adatta la cocca lascia la corda con velocità laterale praticamente nulla, nell'istante in cui anche la forza trasversale dell'arco è nulla, e resta entro il 2% dello spostamento laterale di riferimento per 2 millesimi di secondo prima del distacco, cioè per il 15% della durata della fase 1, durante i quali la freccia compie il 20% del suo avanzamento. Le aste troppo morbide e troppo rigide lasciano la corda con una velocità laterale: la troppo morbida per posizione e segno della velocità va a toccare l'arco con le penne, la troppo rigida flette poco, allunga la fase 1, esce più lenta e alla macchina si vede scivolare di lato.

Da questi criteri l'autore costruisce un nomogramma che, per le aste Easton X7, ricava diametro esterno e spessore della parete dalla lunghezza della freccia e dal libbraggio, su 800 combinazioni. Confrontandolo con l'attrezzatura dei 22 migliori arcieri polacchi, solo quattro stavano fuori dalla fascia prevista, e due arciere con medaglie europee e mondiali usavano aste vicine a quelle proposte.

Il modello matematico descrive tre cose della fase 1: la traslazione della freccia lungo l'asse del tiro, le sue vibrazioni trasversali nel piano orizzontale e l'interazione con il bordo dell'appoggiafreccia. L'asta è modellata come una trave prismatica, con le vibrazioni trasversali date da un'equazione differenziale alle derivate parziali risolta con il metodo di Fourier su base di funzioni di Krilov; la traslazione è approssimata con una massa puntiforme pari alla massa della freccia e una molla che rappresenta l'elasticità longitudinale dell'arco. Fra le condizioni iniziali compare un parametro proporzionale all'angolo di torsione dell'arco attorno all'asse verticale, che scala l'ampiezza delle vibrazioni trasversali: è il parametro che lega la tecnica dell'arciere al comportamento della freccia.

La macchina, chiamata dall'autore DMLA, è fatta di tre parti: un telaio molto rigido fissato nel calcestruzzo; una morsa che fissa l'impugnatura dell'arco al telaio con due ganasce montate su tre cuscinetti a sfera, così che l'arco possa ruotare quasi senza attrito attorno a due assi perpendicolari e possa essere bloccato a qualunque angolo scelto; e un meccanismo di rilascio che permette di fissare la corda a qualunque allungo, di lasciarla in modo fluido e praticamente senza attrito, e di spostare il punto di presa della corda nelle tre direzioni.

Le riprese ad alta velocità sono state fatte su pellicola 16 mm fra 1.000 e 2.500 fotogrammi al secondo. La prima serie riprende un'arciera della nazionale polacca in condizioni di laboratorio, con attrezzatura preparata per rendere più precisa l'analisi dei fotogrammi e con tutte le caratteristiche meccaniche misurate; la seconda riprende un gruppo di medagliati olimpici e mondiali.

Le verifiche sono tre. Il modello è stato confrontato con il moto della freccia ricostruito per interpolazione polinomiale dalle riprese fatte con la telecamera a picco sull'arciera. Il moto della freccia lasciata dalla macchina è stato confrontato, su pellicola a 1.000 fotogrammi al secondo, con quello della freccia lasciata da un'arciera della nazionale. E la precisione della macchina è stata misurata a 30 metri.

Per il nomogramma, l'ipotesi di lavoro è che un abbinamento arco-freccia sia ben scelto quando i parametri adimensionali del modello coincidono con quelli del sistema preso come riferimento: riscalando le coordinate e il tempo, il moto deve essere identico a quello dell'asta di riferimento. Il riferimento è l'attrezzatura di un arciere polacco di vertice. Il nomogramma copre le 10 aste X7 del catalogo, con il diametro esterno in sessantaquattresimi di pollice e lo spessore della parete in millesimi, e assume per tutti gli archi lo stesso rapporto fra elasticità trasversale e longitudinale, 1,3, e lo stesso rendimento, 0,75, dove il rendimento è il rapporto fra l'energia cinetica della freccia all'inizio del volo e il lavoro fatto per tendere l'arco. Le combinazioni considerate sono 800: 40 valori di libbraggio a passi di 5 newton e 20 valori di allungo a passi di 1 centimetro.

La catena di questo studio ha un anello debole dichiarato: la macchina sostituisce l'arciere, e la prova che possa farlo è qualitativa. L'autore scrive che fra il moto della freccia lasciata dalla macchina e quello della freccia lasciata da un'arciera della nazionale «non c'erano differenze qualitative» sulla pellicola. Non ci sono numeri a sostegno di quel confronto, e su quella frase poggiano tutti i risultati ottenuti con la macchina, compresa la sensibilità alla torsione.

Anche la verifica del modello è giudicata dall'autore stesso in modo soggettivo: si confrontano due figure, il moto ricostruito dalla pellicola e quello simulato, e si osserva che le differenze sono maggiori ai bordi degli intervalli di tempo e di spazio. Nessuna misura dell'errore, nessuna statistica. L'autore indica anche cosa manca al modello: l'elasticità del bordo dell'appoggiafreccia, da aggiungere in una prossima approssimazione.

Quello che il modello copre è solo la fase 1, e solo nel piano orizzontale. Le vibrazioni nel piano verticale, l'aerodinamica, il distacco delle dita e il volo balistico non ci sono: per la fase 2, scrive l'autore, un modello non è stato sviluppato. Perciò l'effetto dell'asta troppo morbida che tocca l'arco con le penne è «verificato solo sperimentalmente», perché accade quando il modello non arriva più.

I due numeri sulla torsione, 15,8 e 21,9 centimetri per grado, vengono da un solo arco con una sola attrezzatura di riferimento, a una sola distanza. Non è riportato quante frecce siano state tirate per ricavarli, non ci sono intervalli di confidenza e non c'è nessuna ripetizione: l'asimmetria del 30% fra le due direzioni poggia su due valori senza incertezza dichiarata. La soglia di 0,2 gradi è calcolata da quei numeri, non misurata su arcieri, e lo stesso autore osserva che fino a quel momento i competitori non avevano modo di controllare quell'angolo: che un arciere possa ripeterlo entro due decimi di grado non è stato provato.

La validazione del nomogramma è più debole di quanto sembri. Diciotto arcieri su ventidue dentro la fascia prevista non è un controllo indipendente: la larghezza della fascia non è dichiarata, e il criterio stesso è ancorato all'attrezzatura di un singolo arciere polacco di vertice, presa come approssimazione dell'ottimo. Il nomogramma e le scelte degli arcieri derivano in parte dalla stessa origine, quindi l'accordo è in parte circolare. In più il nomogramma assume per tutti gli archi lo stesso rapporto di elasticità e lo stesso rendimento, misurati sull'arco di riferimento.

Resta l'età del lavoro. Il catalogo su cui è costruito il nomogramma è quello delle aste di alluminio Easton X7, che l'autore descrive come usate da quasi tutti i migliori: oggi il ricurvo di vertice tira aste in carbonio e alluminio, quindi la tabella specifica non si applica più, anche se il metodo con cui è costruita resta. Le figure 8 e 9, dove stanno le curve e il nomogramma, non sono leggibili nella copia digitalizzata: i valori di questa scheda vengono dal testo. Il libbraggio è dato in chilogrammi forza in un punto e in newton in un altro, e le aste sono indicate come «15/14 in» o «17/14 in» come se fossero pollici, mentre sono il codice Easton, sessantaquattresimi di pollice per il diametro e millesimi per la parete. L'abstract parla di tre serie di riprese, i metodi ne descrivono due.

È il primo lavoro che mette un numero sul costo di torcere l'arco, e il numero è grosso: a 30 metri, un grado di torsione attorno all'asse verticale sposta l'impatto di 15,8 centimetri in una direzione e di 21,9 nell'altra. Su una visuale da 122 centimetri, un grado porta la freccia dal centro fuori dal giallo. È il contenuto quantitativo dell'indicazione, altrimenti generica, di non torcere l'impugnatura.

Da lì viene la soglia che si cita più spesso: perché tutte le frecce finiscano nel dieci a 30 metri, l'angolo di torsione va ripetuto entro 0,2 gradi. Vale la pena sapere com'è nata: è un conto fatto sulla sensibilità misurata alla macchina, non una misura su arcieri che tirano. Dice quanto il sistema è intollerante, non quanto un arciere sia capace di esserlo.

La parte sullo spine è quella che spiega un meccanismo, e spiega perché l'accordatura ha una tolleranza invece di un punto solo. Con l'asta adatta la cocca lascia la corda nell'istante in cui la forza trasversale dell'arco è nulla, quindi con velocità laterale praticamente zero, e quella condizione dura 2 millesimi di secondo, il 15% della fase di contatto, durante i quali la freccia percorre il 20% del suo tragitto. È una finestra, non un istante: dentro quella finestra piccole differenze fra una freccia e l'altra o fra un rilascio e l'altro contano poco. Con un'asta troppo morbida o troppo rigida quella finestra non c'è, e la cocca parte con una spinta laterale.

Le due direzioni dell'errore non sono simmetriche. Una freccia troppo morbida esce e va a toccare l'arco con le penne; una troppo rigida flette poco, resta in contatto più a lungo, esce più lenta e scivola di lato. Perdere velocità non è un dettaglio: l'autore osserva che una freccia più veloce sta in aria meno tempo e subisce meno l'aria che cambia.

Un ultimo numero utile come riferimento. La macchina, senza arciere, con la stessa attrezzatura, raggruppava a 30 metri con una deviazione standard di 0,9 centimetri, cioè praticamente tutto nel dieci. È una misura di quanto del gruppo dipenda dall'arco e dalle frecce e quanto da chi tira: con attrezzatura normale, il materiale da solo tira meglio del migliore arciere del mondo.