Interazione tra arco e freccia: studio Kooi 1998

Niente arcieri, niente frecce tirate: è un lavoro di calcolo. Bob Kooi, biologo e matematico ad Amsterdam, riprende il modello con cui Ryszard Pękalski aveva descritto il movimento della freccia durante il lancio, lo ricostruisce per intero perché la descrizione originale era incompleta, e ne cambia tre cose.

La prima è l'arco. Pękalski lo trattava come una molla lineare, con la forza proporzionale all'allungamento oltre la corda a riposo, e questo, scrive Kooi, non si può fare: per l'inerzia dei flettenti la curva di forza dinamica è sensibilmente diversa da quella statica, e la differenza conta proprio nei primi millisecondi. Al suo posto entra la curva dinamica calcolata dal suo modello dell'arco ricurvo del 1991.

La seconda è il bottone di pressione, che diventa un appoggio elastico che lavora in un senso solo, con una molla da 622 newton al metro, e la forza di contatto fra freccia e impugnatura compare nelle equazioni in modo esplicito.

La terza è la partenza. Pękalski aveva bisogno di mettere la cocca fuori dal piano dell'arco di un valore stimato, meno diciotto millimetri, che equivale a una torsione dell'arco attorno all'asse verticale; nel modello nuovo quella forzatura non serve, perché il movimento trasversale della cocca nasce da sé dall'elasticità trasversale dell'arco quando la corda scivola dalle dita.

Le previsioni, confrontate con le riprese ad alta velocità pubblicate da Pękalski nel 1990, sono tre. La freccia si libera dal bottone prima di lasciare la corda, cioè il contatto laterale finisce quando la spinta è ancora in corso. Il contatto non è continuo: subito dopo il rilascio si annulla per un istante, poi riprende, poi finisce. E la corda libera la freccia più o meno quando la cocca riattraversa il piano dell'arco, cosa che fa passare la coda accanto all'impugnatura senza colpirla.

Con il modello nuovo l'asta si flette più che con quello di Pękalski, e la ragione è la forza normale iniziale, cioè la compressione longitudinale della spinta, che il modello precedente trascurava.

La freccia è trattata come una trave che vibra nel piano orizzontale, descritta dall'equazione classica della trave, e il suo movimento trasversale si scompone in due pezzi, una vibrazione e una rotazione attorno alla cocca. I movimenti verticali sono dichiaratamente trascurati. Il sistema che ne esce non è lineare, per via del problema del contatto, quindi non si risolve con il metodo di Fourier come faceva Pękalski ma con le differenze finite, come descritto in Kooi e Sparenberg del 1997.

Le condizioni ai bordi sono il punto in cui i due modelli si separano. Da Pękalski la punta della freccia è vincolata come in una cerniera, cioè la sua posizione trasversale è imposta uguale a zero per tutto il lancio, e il momento in cui la freccia si libera dall'impugnatura è definito come l'istante in cui la velocità trasversale della punta è massima, con quella velocità poi tenuta costante. Nel modello nuovo la punta porta la massa della testa come massa concentrata e si muove, e il distacco non è definito a priori: esce dal conto, quando la forza nella molla del bottone va a zero.

I parametri sono una sola combinazione, quella di Pękalski del 1987: freccia Easton X7 1714 in alluminio 7178, lunga 0,67 metri, diametro esterno 6,75 millimetri, spessore di parete 0,356, massa per unità di lunghezza 0,02 chili al metro, rigidezza flessionale 0,209 newton per metro quadro. L'arco è un Hoyt Pro Medallist T/D da 1,68 metri e 15,5 chili, con rigidezza 342 newton al metro, elasticità trasversale 270, altezza della corda a riposo 0,225 metri e allungo 0,645, per una forza di 143 newton all'allungo: quel conto torna, 342 per 0,420 fa 143,6. La distanza fra la punta e l'impugnatura a pieno allungo è 25 millimetri.

Due numeri non sono misurati ma stimati per adattamento: i rendimenti longitudinale e trasversale, posti entrambi a 0,75 per la combinazione di riferimento. Pękalski li aveva ricavati con una regressione non lineare ai minimi quadrati, ottenendo 0,76 e 0,71, più i diciotto millimetri di scostamento della cocca.

La verifica, come l'articolo stesso la descrive, è il confronto fra due descrizioni dello stesso tiro: le curve ricavate dalla pellicola ad alta velocità, girata fra mille e duemilacinquecento fotogrammi al secondo su un'atleta della nazionale polacca e su una macchina da tiro, e le curve che esce dalla simulazione, disegnate ogni due millisecondi dal rilascio. Nessuna misura nuova è stata raccolta per questo articolo.

È un modello, e il confronto con la realtà poggia su un solo tiro. Le curve sperimentali sono quelle pubblicate da Pękalski nel 1990, lette da una figura: una pellicola, un'arciera, una combinazione di arco e freccia. Non c'è un secondo insieme di dati, non c'è una ripetizione, e per questo articolo non è stata fatta nessuna misura.

Il confronto, poi, è a occhio. L'articolo scrive che il raffronto fra le due figure suggerisce che il modello nuovo segue meglio i dati sperimentali agli estremi dell'intervallo di tempo e dello spazio, e il riassunto parla di conformità soddisfacente. Non c'è una misura dello scarto, né uno scarto quadratico, né un intervallo, né un criterio dichiarato in anticipo per decidere quale dei due modelli stia più vicino. Che il nuovo vinca è plausibile, perché contiene meccanica che l'altro non ha, ma la prova offerta è il disegno sovrapposto.

C'è anche un dettaglio che rende il confronto meno pulito di quanto sembri: i due modelli non hanno lo stesso numero di parametri liberi. Pękalski ne aveva tre adattati ai dati, i due rendimenti e lo scostamento iniziale della cocca; Kooi ne ha due, perché elimina il terzo. Togliere un parametro e migliorare l'aderenza è un risultato forte, ma l'aderenza non è corretta per quella differenza, e senza un indice numerico non si può fare.

Il rilascio non è nel modello. È la cosa che cambia più di tutte da arciere ad arciere e da freccia a freccia, e nelle equazioni entra solo come condizione iniziale sulla cocca. L'articolo lo dice e propone la via d'uscita: servirebbero esperimenti su ciascun arciere per misurare come la corda esce dalle dita e come si muove la mano dell'arco, e da lì si potrebbe definire un rilascio di riferimento. Finché non esiste, il modello descrive il tiro di una macchina meglio di quello di una persona.

Il piano verticale è escluso per scelta. Il rest, il contatto verticale e la componente verticale del paradosso restano fuori, e con loro i problemi di contatto che un arciere incontra davvero quando la cocca o le penne sfiorano il rest.

Una sola combinazione, e del 1987. Un'asta di alluminio su un ricurvo di quell'epoca: niente carbonio, niente compound, niente geometrie di flettenti recenti, e un solo valore di rigidezza del bottone. Questa è la mancanza che pesa di più sul piano pratico, perché il bottone è proprio la cosa che l'articolo aggiunge al modello e proprio quella che l'arciere regola: con un solo valore, 622 newton al metro, non si vede che cosa cambi nel tiro quando quella molla si indurisce o si ammorbidisce. Lo stesso vale per lo spine: le aste più morbide e più rigide di cui si parla nella discussione, 5,95 e 8,33 millimetri di diametro, sono calcoli di Pękalski col modello vecchio, non ricalcoli con quello nuovo.

Un conto nella tabella non chiude. Il testo definisce la massa totale della freccia come la somma di asta, punta, impennaggio e cocca, e la tabella dà 18,5 grammi di totale con 13,5 di asta, 4 di punta, 1 di impennaggio e 4 di cocca, che fanno 22,5. I primi tre, invece, fanno esattamente 18,5: la cocca è fuori dal totale, nonostante la definizione, e più avanti nelle condizioni ai bordi la sua massa è dichiaratamente trascurata. Quei 4 grammi, inoltre, sono molti per una cocca reale, che di solito sta intorno al grammo.

Infine, il punto che conta per il registro: la precisione non è nel lavoro. La frase per cui il movimento della freccia attorno all'impugnatura migliora la precisione del tiro è un'affermazione di passaggio, non un risultato: nell'articolo non c'è un punteggio, non c'è una dispersione, non c'è un confronto fra tiri più o meno centrati. E le promesse pratiche, cioè accordare arco e freccia per simulazione, far girare il programma su un personal computer a basso costo e identificare i parametri più importanti con un'analisi di sensibilità, sono tutte al futuro. Nessuna delle tre è eseguita nell'articolo.

Questo lavoro non si usa per scegliere uno spine, e non va letto come se lo facesse. Si usa per capire che cosa succede nei dieci o quindici millisecondi in cui la freccia è ancora attaccata all'arco, e quella comprensione cambia il modo di affrontare l'accordatura.

Tre cose, in ordine di utilità.

La prima è la sequenza del distacco. La freccia si libera dal bottone prima di lasciare la corda, e la coda passa accanto all'impugnatura dopo essere già partita, più o meno quando riattraversa il piano dell'arco. Vuol dire che il bottone non lavora durante tutto il lancio: fa il suo lavoro nella prima parte, e quando la freccia esce non lo tocca già più. Chi cerca un segno sulla carta o sul rest per capire dove la freccia tocca sta guardando un contatto che finisce prima dell'uscita.

La seconda è che il contatto non è continuo. Subito dopo il rilascio la freccia si stacca dal bottone per un istante, poi torna a premere, poi se ne va. Un bottone troppo duro o troppo morbido non sposta solo la forza media: cambia il momento in cui quella sequenza si chiude, e quindi la posizione della coda quando passa l'impugnatura.

La terza è il criterio di Pękalski, che Kooi dice può restare utile: una combinazione di arco e freccia è ben scelta quando la freccia lascia la corda più o meno nell'istante in cui la cocca riattraversa il piano dell'arco. Formulato così è un criterio di geometria, non di tabella, ed è la ragione meccanica per cui un'asta troppo morbida e un'asta troppo rigida sbagliano entrambe: non sono nella fase giusta al momento del distacco. Resta il modo di accorgersene, che in campo è ancora il tiro fuori paragone, il test di scorrimento della freccia e il gruppo sul bersaglio.

Quello che questo articolo non dà, e conviene saperlo prima di cercarlo: nessun numero da portare al banco. Una sola combinazione calcolata, un solo valore di rigidezza del bottone, un'asta di alluminio di fine anni ottanta, nessuna freccia in carbonio, e il rilascio che nelle equazioni non c'è. La promessa di accordare per simulazione, che l'articolo fa due volte, aspetta ancora di essere mantenuta da qualcuno.