Asimmetria dei flettenti nel compound: Zanevskyy 2012

Il principale modello precedente del compound a doppia camma, quello di Park (2009), parte dall'ipotesi che i due flettenti si pieghino allo stesso modo. Qui l'autore costruisce un modello meccanico dell'arco in trazione senza questa ipotesi e guarda che cosa cambia. Da 12 parametri dell'arco (lunghezza dei flettenti e del riser, raggi delle camme, rigidità dei flettenti, angoli, posizione dell'impugnatura e del punto d'incocco) il modello ricava altri 20 valori: angoli dei flettenti e delle camme, forze su corda e cavi, componenti della forza di trazione.

Per l'arco preso come esempio, in piena trazione il flettente superiore risulta più piegato dell'inferiore: 0,124 contro 0,110 radianti, una differenza di circa il 12% rispetto alla media, mentre il modello simmetrico dà 0,117 a entrambi. Le altre grandezze cambiano poco: la componente verticale della forza del 2,1%, la posizione verticale del punto d'incocco dell'1,5%, le forze su corda e cavi dello 0,1-0,2%. Confrontato con la foto dello stesso arco tirato da un peso, il modello asimmetrico si avvicina di più agli angoli misurati (0,125 e 0,106 radianti): lo scarto è di 0,001 radianti sul flettente superiore contro 0,008 del modello simmetrico, e di 0,004 contro 0,011 su quello inferiore. La differenza maggiore riguarda il carico, 98,1 newton misurati contro 104,9 calcolati, cioè il 7%. Il modello calcola anche che, rispetto a un ricurvo virtuale con la stessa forza massima, questo compound immagazzina il 75% di energia in più.

Il modello tratta ogni flettente come un'asta rigida incernierata al riser con una molla a rigidità costante, e ogni camma come un profilo il cui raggio varia con l'angolo secondo una curva a coseno (raggio caratteristico di 33 mm, coefficiente 1,3). Le equazioni di equilibrio di camme, flettenti e corda formano un sistema non lineare senza soluzione esplicita, risolto per via numerica con il metodo di Newton-Raphson in MathCAD; il programma è riportato in appendice. L'asimmetria nasce dalla geometria: il tratto di corda sotto il punto d'incocco è più lungo di quello sopra (il parametro D, metà della differenza, vale 40 mm) e l'impugnatura non sta sulla linea dei perni dei flettenti. Per il confronto con il modello simmetrico l'autore impone flettenti uguali correggendo artificialmente le rigidità di 0,89 Nm.

Per il controllo sperimentale ha appeso un compound (matricola 028815P) per l'impugnatura, ha caricato il punto d'incocco con un peso fino a un allungo di 0,738 m e lo ha fotografato con una fotocamera digitale a circa 4 metri, perpendicolare al piano dell'arco. Le coordinate dei punti chiave sono state lette in pixel con MS Paint, usando come scala un righello sul riser (0,761 mm per pixel); l'errore dovuto all'immagine è stimato intorno all'1%.

La verifica riguarda un solo arco, in una sola posizione, tirato da un peso e fotografato da fermo, e lo scrive anche l'autore: il modello va generalizzato. Il profilo delle camme è una curva a coseno idealizzata, non quello di una camma commerciale, e i flettenti sono aste rigide con una molla, non lamine che si flettono, con rigidità supposta costante. Il modello è statico: descrive l'arco fermo in trazione, non che cosa succede durante il rilascio, quando le differenze tra i flettenti potrebbero pesare sul moto del punto d'incocco.

Il 12% riguarda gli angoli dei flettenti, non le forze, che nei due modelli restano quasi uguali, e dipende dalla geometria di quell'arco, in particolare da quanto punto d'incocco e impugnatura sono fuori centro. Lo scarto sul carico, il 7%, è più grande di qualunque differenza tra modello simmetrico e asimmetrico nella tabella dei risultati, angoli dei flettenti compresi (6,4% e 5,6%): il vantaggio del modello asimmetrico poggia quindi solo sul confronto diretto con gli angoli misurati. La lettura delle coordinate con un programma di disegno e un righello è un metodo semplice, e l'incertezza dell'1% tiene conto solo della deformazione prospettica.

L'idea che i due flettenti di un compound lavorino in modo identico è una semplificazione: con il punto d'incocco sopra il centro della corda e l'impugnatura spostata, in piena trazione il flettente superiore e quello inferiore si piegano in misura diversa, anche se le forze in gioco cambiano di pochissimo. Per chi tira con il compound questo dà una base meccanica a un'idea familiare a chi accorda: la posizione del punto d'incocco e dell'impugnatura cambia il modo in cui lavorano i due flettenti, e l'arco non lavora in modo simmetrico nemmeno quando i flettenti sono identici.

Lo studio però non dice come regolare l'arco, non misura effetti sul volo della freccia o sul punteggio e non riguarda il ricurvo. L'autore propone il programma in MathCAD come strumento per allenatori e arcieri senza formazione matematica, ma per usarlo servono 12 misure precise dell'arco, tra cui la rigidità dei flettenti, che senza attrezzatura di laboratorio non si ricava facilmente.