Chi tira conosce bene la fatica della trazione: a ogni freccia porta la corda fino all'ancoraggio contro qualche decina di libbre, la tiene in mira e la lascia andare. Viene naturale chiedersi quanta parte di quello sforzo finisca nella freccia e quanta resti per strada. In fisica la domanda ha una forma precisa, perché il lavoro fatto per tendere l'arco e l'energia con cui la freccia parte si misurano entrambi in joule, e il rapporto fra i due si chiama rendimento dell'arco.
Il conto riguarda il lavoro che entra nell'arco, non quello che spendono i muscoli. La risposta breve è che sulla carta un arco da gara passa alla freccia circa tre quarti del lavoro di trazione. Quel numero però viene soprattutto dai modelli matematici, e le misure riguardano archi diversi dal ricurvo olimpico in mano a un arciere: un arco da kyudo, un ricurvo moderno montato su un supporto, un compound. Su dove vada il resto c'è un bilancio misurato, su un compound: il quarto che non arriva alla freccia rimane quasi tutto nelle parti dell'arco che si muovono con la corda. Che la quota salga con il peso della freccia lo dicono le prove a macchina; per la corda le prove non concordano, e per la forma dei flettenti ci sono soltanto i modelli.
Dal lavoro di trazione all'energia della freccia
Tendere l'arco è un lavoro, e il suo valore è l'area sotto la curva che lega la forza all'allungo: più libbre e più centimetri di allungo vogliono dire più joule. I flettenti lo accumulano e al rilascio lo restituiscono, ma non lo consegnano tutto alla freccia. Una piccola parte se ne va già prima, negli attriti interni dei flettenti e, nel compound, delle camme. Un'altra resta nell'arco, perché quando la freccia lascia la corda flettenti e corda sono ancora in movimento e si tengono la loro energia.
Il bilancio voce per voce esiste per un arco solo. Un fisico ha misurato in laboratorio un compound di serie con una freccia da 20,6 grammi, ricostruendo la curva di trazione fotografia dopo fotografia e la velocità della freccia con un cronografo. Per tendere l'arco servivano 73,7 joule; al rilascio l'arco ne restituiva 71,0, perché fra il 3 e il 4% si perdeva negli attriti; la freccia ne portava via 57,1. Rispetto al lavoro di trazione è poco più di tre quarti, rispetto all'energia restituita è l'80%, ed è questo secondo numero che l'autore chiama rendimento. La differenza fra le due definizioni pesa ogni volta che si mettono accanto studi diversi, perché non tutti dividono per la stessa cosa.
Da dove viene il numero dei tre quarti
Il valore che circola per il ricurvo da gara è nato come parametro di calcolo. Il modello di riferimento, controllato sulle riprese ad alta velocità di un arciere polacco di vertice, fissa il rendimento a 0,75 e ci costruisce sopra il resto del calcolo. Un altro modello del ricurvo moderno lo ricava invece di assumerlo e trova 0,729. Due modelli di gruppi diversi arrivano così allo stesso ordine di grandezza, ma restano calcoli, e per questo nel registro l'affermazione che un arco da gara trasferisce alla freccia circa tre quarti del lavoro di trazione è trasferita.
I modelli, del resto, hanno una storia di ottimismo. Quelli che trattavano la corda come un filo che non si allunga prevedevano rendimenti sopra il 90%, mentre gli archi misurati intorno al 1960 davano fra il 70 e l'85%. Un'analisi con la corda elastica ha mostrato da dove veniva la distanza: sull'arco lungo dei primi calcoli il rendimento scendeva dal 92 al 78%, perché la freccia parte quando flettenti e corda si muovono ancora, mentre la resistenza dell'aria valeva meno del 2%. Il registro tiene come contestata l'affermazione che il modello matematico dell'arco prevede bene il libbraggio, meno bene l'efficienza: la metà sull'efficienza regge, perché i modelli la calcolano più alta della misura, mentre quella sul libbraggio vale per l'arco lungo, e su ricurvo e compound il modello va tarato sull'arco reale.
Le misure su archi reali sono poche. Nel kyudo, con dieci arcieri e cinquanta tiri per corda, l'arco giapponese passa alla freccia fra il 67,7 e il 69,4% dell'energia dell'arco teso. In laboratorio, un ricurvo moderno montato su un supporto e lasciato con uno sgancio meccanico va da 0,70 con una corda in Dacron a 0,762 con una in Fast Flight. Il compound del bilancio arriva a 0,80 sull'energia restituita. Sono numeri vicini ai tre quarti, presi su archi e con definizioni diverse: confermano l'ordine di grandezza, non il valore per l'arco da gara.
Dove va il resto dell'energia
Il colpo dell'arco nella mano fa pensare a molta energia dispersa al rilascio, ma nel bilancio del compound il rinculo, misurato con un accelerometro, valeva 0,23 joule contro i 71,0 disponibili; staccare la cocca dalla corda costava circa 0,05 joule; l'oscillazione della freccia, anche con un'ampiezza di 2 centimetri, circa 0,43; l'accorciamento della corda fra 0,2 e 0,3. Fra l'energia restituita e quella della freccia restano quasi 14 joule, e l'autore li attribuisce alle parti dell'arco che a freccia partita si stanno ancora muovendo. Non li misura da soli: li ricava per differenza, dopo aver mostrato che le altre voci sono minuscole.
Per descrivere quella quota si usa una massa virtuale: è come se la freccia, nel lancio, si portasse dietro qualche grammo che non parte con lei. Nel compound misurato erano circa 5 grammi, e metà stava nella corda e in quello che le si attacca, cioè serving, D-loop e diottra; il resto, secondo l'autore, probabilmente in flettenti e camme, più pesanti ma più lenti. La formula che ne viene, con il rendimento uguale alla massa della freccia divisa per la somma delle due masse, regge alla prova del cronografo su tre frecce di peso diverso. Un modello con la corda elastica arriva allo stesso quadro per un'altra strada: alla partenza della freccia l'11,0% dell'energia è ancora nel moto dei flettenti e il 9,8% in quello della corda. Nel registro è riportata l'affermazione che quello che l'arco non dà alla freccia resta nelle sue parti in movimento, mentre rinculo e distacco della cocca pesano quasi niente: il conto completo è uno solo, su un arco, in un preprint.
Viene spontaneo pensare che flettenti più leggeri lancino più veloce, ma nel modello di un compound la velocità finale non cambia con la massa efficace dei flettenti o con l'inerzia delle camme, cambia solo il modo in cui la freccia accelera, e quel modello fissa l'energia della freccia con una massa virtuale presa dalle misure. L'affermazione che la massa di flettenti e camme cambia poco la velocità della freccia è trasferita, perché la domanda è stata posta soltanto ai modelli.
Una freccia più pesante prende una quota maggiore
Dalla massa virtuale segue che lo stesso arco rende di più con una freccia più pesante, perché i grammi che restano all'arco pesano meno in proporzione. Le prove sull'attrezzatura vanno tutte in questa direzione. La più controllata monta un ricurvo laminato su una macchina e lo tira a 40, 45 e 50 libbre con tre frecce identiche tranne una zavorra interna, da 23 a 33 grammi, trenta tiri per combinazione: a 50 libbre la freccia più pesante, cronometrata a 20 metri dall'arco, è circa 3 metri al secondo più lenta, ma porta 32,4 piedi-libbra di energia contro 24,4. Un secondo esperimento a macchina ripete il confronto su due archi da 34 libbre, e con entrambi la freccia da 30,35 grammi porta via più energia di quella da 25,66: 24,43 joule contro 22,82 con l'arco rinforzato in fibra di vetro, 17,96 contro 16,91 con quello di legno.
All'estremo opposto, una replica di arco in tasso con una freccia di canna da 9,7 grammi trasferisce, secondo una stima dalla curva di trazione, solo circa un terzo dell'energia accumulata, e la freccia parte fra 33,5 e 39,2 metri al secondo; nel registro è riportato che un arco di legno di media potenza con una freccia di canna molto leggera non supera i quaranta metri al secondo e serve solo a distanza ravvicinata. Sulle differenze di peso che si trovano fra frecce da gara, invece, l'effetto non si vede: con lo stesso arco e lo stesso arciere, due aste che differiscono di un quarto di grammo escono a 59,21 e 59,67 metri al secondo con un'energia praticamente uguale. L'affermazione che con lo stesso arco una freccia più pesante riceve più energia è riportata: le prove concordano, ma su un ricurvo olimpico con frecce da gara l'unico confronto è quello fra le due aste quasi uguali, e nessuno ha seguito l'effetto lungo gli intervalli di peso che si usano in competizione.
Corda, forma dei flettenti e materiali
Se metà della massa virtuale sta nella corda, una corda più leggera dovrebbe far partire la freccia più veloce. Nel compound misurato è una deduzione dalla formula, e le prove dirette non vanno tutte nella stessa direzione. Sul materiale concordano: nel kyudo le tre corde sintetiche passano alla freccia circa il 69% dell'energia contro il 67,7% della canapa, una differenza più piccola della variabilità fra un tiro e l'altro, e sul ricurvo lasciato dal supporto la stessa freccia parte a 49,73 metri al secondo con il Dacron e a 52,09 con il Fast Flight. Sul numero di trefoli no: nello stesso laboratorio togliere fino a sei trefoli a una corda da sedici lascia la velocità fra 51,43 e 51,88 metri al secondo, senza una tendenza, mentre su una macchina lanciafrecce passare da venti a dodici trefoli fa guadagnare al massimo mezzo punto percentuale. Per questo l'affermazione che materiale e numero di trefoli della corda cambiano la velocità della freccia è contestata.
Secondo i modelli, la forma dei flettenti conta in un modo meno intuitivo. Un modello che confronta sei tipi di arco a parità di libbraggio, allungo, massa dei flettenti, freccia e corda trova che accumulare più energia non basta. Gli archi con le orecchie rigide accumulano più di un arco dritto, ma quando la corda lascia i ponticelli la spinta sulla freccia cala di colpo e parte un'oscillazione che consuma energia, e ne passano alla freccia una quota minore; un ricurvo spinto all'estremo porta l'energia accumulata da 0,434 a 0,810 e fa scendere il rendimento da 0,770 a 0,417. Alla fine la velocità della freccia cambia poco da un arco all'altro, e il ricurvo moderno, che unisce un buon accumulo e un buon rendimento, è quello che la lancia più veloce. Che la geometria dei flettenti decida quale quota dell'energia accumulata passa alla freccia è trasferito: lo dicono i modelli di un solo autore, che confrontano tipologie storiche e non i flettenti che si comprano oggi.
Il vantaggio degli archi compositi, secondo gli stessi modelli, viene dai materiali più che dalla forma: per chilo il tendine accumula 2.500 newton metro e il corno 1.500, contro i 1.100 del tasso e i 700 dell'acero, per cui un composito arriva allo stesso libbraggio con flettenti più corti e leggeri. La misura diretta è una sola: a una stazione balistica un composito da 27 chili lancia la freccia da 50 grammi alla stessa velocità di un arco lungo in tasso da 36. In una prova a macchina più recente un arco di olmo è circa il 14% più lento di un arco di forma simile rinforzato con fibra di vetro, allo stesso libbraggio e allungo, ma quello non è un composito di corno e tendine. L'affermazione che un arco composito di corno e tendine lancia la freccia meglio di un arco di legno di pari libbraggio è riportata.
Nel kyudo sembra contare perfino la colla. Archi di una bottega di Kyoto incollati con la colla tradizionale di pelle di cervo, ripresi ad alta velocità, lanciano la freccia quasi alla stessa velocità massima di quelli incollati con colla sintetica, ma con più spinta nell'ultimo tratto: la freccia accelera di colpo da un centesimo di secondo dopo il rilascio. Lo studio non dice quanti tiratori e quanti tiri, e l'affermazione che un arco giapponese incollato con colla animale spinge la freccia di più nell'ultimo tratto, a pari velocità massima è riportata.
Compound e ricurvo
Per chi tira con il compound la domanda ha un'altra piega, perché la forza sale ripida, resta quasi costante per buona parte della trazione e poi crolla verso il pieno allungo. Nel compound del bilancio il let-off a pieno allungo era di circa il 65%, quindi in mira si teneva circa un terzo della forza di picco, e l'arco accumulava 73,7 joule; due compound di altri studi ne accumulavano 92,8 e 96,5. Che un compound accumuli fra i 70 e i 100 joule e a pieno allungo scarichi circa due terzi della forza è riportato, perché ogni numero viene da un arco solo e il let-off da uno soltanto. In uno studio sul vento, un ricurvo da 37,1 libbre misurato accanto a un compound da 53,5 accumulava 45,1 joule contro 92,8, e la sua freccia partiva a 57,2 metri al secondo contro 78,9. Con libbraggi e frecce così diversi la differenza si vede ma non si quantifica, e l'affermazione che le frecce del compound partono molto più veloci di quelle del ricurvo è riportata.
A parità di forza di picco, l'unico confronto meccanico viene da un modello che mette un compound accanto a due ricurvi che esistono solo nel calcolo: a pari forza massima il compound accumula il 75% di energia in più, e a pari energia si tiene in mira con una forza 2,3 volte più bassa. Il lavoro non spiega come siano costruite le curve dei ricurvi virtuali, e l'affermazione che a pari forza di picco il compound immagazzina molta più energia del ricurvo e si tiene in mira con molta meno forza è trasferita. Per la domanda di partenza vuol dire che, nel compound, la forza che si tiene in mira e il lavoro che si mette nell'arco sono due cose distinte, e nel modello la prima scende mentre il secondo sale.
Le libbre e la velocità
L'altra leva sul lavoro di trazione è il libbraggio. Sul ricurvo laminato montato sulla macchina la stessa freccia da 23 grammi passa da 45,5 metri al secondo a 40 libbre a circa 54,3 a 50. Fra arcieri c'è un solo studio: sui 61 arcieri di una tappa di Coppa del Mondo il libbraggio dichiarato correla con la velocità a 0,854, ma ricurvo e compound sono analizzati insieme, e buona parte della relazione è la differenza fra le due divisioni. L'affermazione che tra gli arcieri chi tira più libbre lancia la freccia più veloce è riportata. Quante libbre convenga tirare riguarda il controllo del tiro più che i joule, ed è il tema della scelta del libbraggio.
Fin dove arrivano le misure
Le misure dicono con una certa sicurezza dove va l'energia che non arriva alla freccia e in che direzione la spostano il peso della freccia e i materiali, e meno sul rendimento del proprio arco. I tre quarti del ricurvo da gara sono un valore di modello, confermato nell'ordine di grandezza da un arco da kyudo, da un ricurvo su un supporto e da un compound; il bilancio voce per voce viene da un solo compound; la forma dei flettenti la confrontano soltanto i calcoli, su archi storici. Su un ricurvo olimpico tirato da un arciere, con le sue frecce, una misura diretta del rendimento non c'è, e nessuno ha messo a confronto flettenti in commercio a parità di tutto il resto.
Cosa ne ricavo per il campo
Da questi numeri non esce una regolazione da copiare, ma tre indicazioni per leggere la propria attrezzatura.
La prima riguarda le velocità dichiarate. Siccome la quota che arriva alla freccia dipende dalla freccia stessa, una velocità o un rendimento valgono solo per la freccia, l'allungo e il libbraggio con cui sono stati misurati: stando alle prove a macchina, lo stesso arco con un'asta più leggera la manda più veloce e le dà meno energia. Per confrontare due flettenti o due archi ha senso usare la stessa freccia, lo stesso allungo e lo stesso libbraggio, con un cronografo, sapendo che secondo i modelli fra archi di forma diversa la velocità finale cambia molto meno dell'energia accumulata.
La seconda riguarda la corda e quello che ci si attacca. Nel compound misurato metà della massa virtuale stava lì, ma le prove sui trefoli non vanno d'accordo, e nel kyudo la differenza fra le corde era più piccola di quella fra un tiro e l'altro. Prima di cambiare corda per guadagnare velocità, guarderei al cronografo se la differenza sulla mia freccia supera la variabilità dei miei tiri.
La terza riguarda il tiro a vuoto. L'energia che non trova una freccia resta nell'arco, e già il primo modello del ricurvo moderno spiegava così perché tirare a vuoto rompe spesso arco o corda: è il caso limite del bilancio, quello in cui alla freccia non va niente. Per il resto, la scelta fra ricurvo e compound e quella delle frecce si fanno su altre basi, perché nessuno di questi studi ha legato il rendimento dell'arco a quanti punti si fanno.