Meccanica dell'arco ricurvo: studio Kooi 1991

Kooi costruisce un modello al computer del ricurvo moderno, l'arco in cui le punte dei flettenti si piegano nell'ultima parte della trazione, e lo confronta con altri cinque archi studiati con lo stesso metodo: un arco dritto descritto da Klopsteg, l'arco angolare di Egitto e Assiria, due archi asiatici a punte rigide (uno di Cina, India e Persia, uno turco) e un arco con una ricurvatura esagerata simile a quello usato da Hickman. Per confrontarli li riporta tutti allo stesso allungo, allo stesso libbraggio e alla stessa massa dei flettenti, e li giudica con tre numeri senza dimensioni: quanta energia l'arco immagazzina (q), quanta ne passa alla freccia (il rendimento η) e la velocità della freccia che ne risulta (v).

Il ricurvo moderno ha q = 0,434, rendimento 0,729 e v = 2,23. I quattro archi storici stanno vicini: v tra 1,92 e 2,01, rendimento tra 0,619 e 0,765. L'arco con la ricurvatura esagerata immagazzina moltissimo (q = 0,810) ma ne passa poco alla freccia (0,417), e alla fine la freccia esce poco più veloce che dagli archi storici (v = 2,08). La conclusione dell'autore è che la forma dell'arco, entro certi limiti, conta meno di quanto si dica di solito; il miglioramento degli archi moderni viene soprattutto dai materiali, che immagazzinano più energia per unità di massa. Il modello mostra anche forti vibrazioni della corda dopo l'uscita della freccia, da cui l'autore deduce che un ricurvo ha bisogno di un brace alto.

L'arco è descritto come una linea elastica (la teoria della trave di Eulero-Bernoulli) con rigidezza e massa che variano lungo il flettente, simmetrico rispetto alla linea di mira e a centro, cioè con la freccia che passa nel piano dell'arco. Nella parte esterna del flettente la corda appoggia sul flettente stesso, e il punto in cui se ne stacca si sposta durante la trazione e di nuovo durante il tiro: è questo che rende il problema difficile dal punto di vista matematico, perché uno dei confini del sistema si muove. La corda è elastica e scorre sul flettente senza attrito; la sua massa è concentrata in tre punti, alle due estremità e al punto d'incocco.

La statica è risolta con un metodo numerico già pubblicato dall'autore, la dinamica con uno schema alle differenze finite (Crank-Nicolson, poi completamente implicito da quando la corda torna a toccare il flettente) che segue istante per istante il punto di distacco della corda. La freccia è una massa puntiforme sulla corda e l'arco è tenuto fermo. Nei confronti allungo, libbraggio e massa di un flettente valgono 1; con l'allungo in centimetri, la forza in chilogrammi forza e la massa in chilogrammi, l'unità di tempo corrisponde a 0,03193 secondi.

È un lavoro teorico, senza misure: l'autore scrive che il rendimento calcolato per il ricurvo moderno concorda con la letteratura, ma non mostra il confronto. Il modello lascia fuori l'attrito interno dei materiali, l'aria, la flessione della freccia e i movimenti dell'arco nella mano, e tratta la corda in modo semplificato. La tesi sui materiali, che apre e chiude l'articolo, qui non è dimostrata: viene da un altro lavoro dello stesso autore, citato nel testo.

Anche il confronto delle velocità va letto con attenzione. Nel ricurvo moderno la freccia pesa, in proporzione alla massa dei flettenti, meno che negli archi storici (0,0629 contro 0,0769), e per come è definito il coefficiente v cresce quando la freccia è più leggera: una parte del vantaggio del ricurvo moderno nella tabella viene da questa scelta, non dall'arco. I sei archi sono ricostruzioni con parametri scelti dall'autore, descritte nel dettaglio in un lavoro successivo.

Per chi tira un ricurvo il dato più interessante è un ridimensionamento: a parità di allungo, libbraggio e massa dei flettenti, un arco olimpico non è molto diverso dagli archi di secoli fa nel modo in cui trasforma l'energia in velocità. Quello che è cambiato, secondo l'autore, sono soprattutto i materiali, che immagazzinano più energia per unità di massa; questo articolo però lo riprende da un altro lavoro, non lo dimostra. Lo studio non dice niente su precisione o accordatura, perché non le considera.

Un'osservazione si collega all'esperienza di campo: dopo l'uscita della freccia la corda di un ricurvo oscilla molto, e l'autore ne deduce che il brace non può essere basso. È una deduzione dal modello, non una regola per fissare il brace, che resta una questione di accordatura tra arco e freccia.