Dinamica di arco e freccia, corda elastica: Marlow 1981

Marlow riprende il modello matematico del longbow di Hickman, che trattava la corda come inestensibile, e lo rifà con una corda elastica. Con una freccia da 25 grammi, una corda da 7 grammi e un arco da 39 libbre a 28 pollici, il modello con corda rigida dà un rendimento del 91,5% e una freccia a 56,0 m/s; con la corda elastica il rendimento scende al 78,1% e la velocità a 52,8 m/s. La differenza nasce dal fatto che, con una corda che si allunga, la freccia si stacca quando corda e flettenti sono ancora in movimento: al distacco l'11,0% dell'energia è nei flettenti che si muovono e il 9,8% nella corda, e un altro 1,9% resta come energia elastica del sistema. La freccia lascia la corda dopo 16,1 millesimi di secondo, 1,94 cm oltre la posizione di riposo della corda, che in quel momento è allungata di 5,3 cm in tutto.

Il modello elastico dà anche una tensione della corda al distacco di 369 newton, circa la metà di quella prevista con la corda rigida, e un picco di tensione che arriva dopo la partenza della freccia: secondo l'autore è il motivo per cui una corda che si rompe manda di solito la freccia al bersaglio lo stesso. L'attrito dell'aria su flettenti, corda e freccia è stimato all'1,4% dell'energia accumulata e le perdite per isteresi dei materiali a meno del 3%. Sono troppo poco per spiegare, come si faceva fino ad allora, la distanza fra i rendimenti teorici sopra il 90% e quelli misurati, che l'autore colloca fra il 60 e l'85%.

È un lavoro teorico. Le equazioni del moto sono ricavate con il metodo di Lagrange per un sistema a masse distribuite (freccia, corda e flettenti), ridotte poi a un modello equivalente a masse concentrate e integrate numericamente. L'arco è quello del modello di Hickman: flettenti rigidi che ruotano attorno a una cerniera elastica, con un'energia proporzionale al quadrato della flessione. Tutto il moto avviene nel piano dell'arco, simmetrico rispetto alla freccia, quindi il paradosso dell'arciere resta fuori, e la corda è considerata sempre dritta.

I dieci parametri sono valori tipici scelti dall'autore: una freccia in alluminio 20-13 da 70 cm e 25 grammi; una corda in dacron a 10 fili da 7 grammi, con una costante elastica di 7.000 N/m ricavata dalle misure di un altro autore su diverse corde; flettenti da 93 grammi e 48 cm, ricavati dalla densità di un pezzo di flettente laminato in legno e fibra di vetro; una costante elastica dell'arco di 620 N/m, tarata su curve forza-allungo di archi tipici. Il confronto con la realtà si appoggia a misure di rendimento storiche e a misure fatte dall'autore intorno al 1960, attorno all'80%, mai pubblicate, oltre a due regole pratiche sulla resistenza delle corde riportate da altri autori.

Il punto debole lo dichiara l'autore stesso: mancano quasi del tutto i dati con cui confrontare il modello. I rendimenti misurati che cita sono in gran parte non pubblicati o riportati senza metodo, e non c'è nessuna misura fatta sull'arco modellato. Il modello tratta la corda come una molla che si allunga tutta insieme, ma un'onda trasversale impiega circa 3,9 millesimi di secondo a percorrere metà corda, una parte non piccola dei 16 del tiro, e l'autore riconosce che questa semplificazione andrebbe rivista. Anche la stima dell'attrito dell'aria è definita grezza.

L'arco è un longbow semplificato con una corda in dacron di oltre quarant'anni fa. Le corde moderne si allungano molto meno, e infatti lavori successivi sull'arco compound tornano a trattarle come inestensibili: in un arco di oggi la quota di energia persa per l'elasticità della corda è probabilmente minore di quella stimata qui. Il file dell'archivio è una scansione senza testo: per questa scheda il testo è stato ricavato con il riconoscimento ottico dei caratteri, che ha reso bene la prosa e le tabelle ma non tutte le formule.

Per chi tira la cosa interessante è il quadro generale: non tutta l'energia che si mette tendendo l'arco arriva alla freccia, e una parte resta nei flettenti e nella corda, che continuano a muoversi dopo il distacco. È l'energia che dopo il tiro fa vibrare arco e corda e che si disperde nell'aria, nei materiali e attraverso il corpo dell'arciere: l'autore stima che le vibrazioni si spengano in circa un secondo. Lo studio spiega perché, a parità di arco, una corda che si allunga meno può mandare la freccia più veloce, ma non dà numeri da applicare a un ricurvo o a un compound di oggi, con materiali e geometrie molto diversi.

Due dettagli sono utili da conoscere. Il primo è che nel modello la freccia lascia la corda poco oltre il brace height, non esattamente lì, perché in quel momento la corda è allungata. Il secondo è che la tensione della corda ha il suo picco dopo il distacco, quindi una corda al limite tende a cedere a freccia già partita. L'appendice, scritta per insegnanti di fisica, propone esperimenti semplici, come misurare la curva forza-allungo con un dinamometro e un metro o la velocità della freccia con un pendolo balistico.