Compound a ruote rotonde, un modello: Tiermas 2015

Il lavoro propone un modello matematico di un tipo preciso di compound: quello con due ruote rotonde uguali, montate fuori centro alle punte dei flettenti. Ogni ruota ha due gole concentriche, una più grande per la corda e una più piccola per il cavo, e gira attorno a un asse che non passa per il centro; è questa geometria a dare la curva forza-allungo tipica del compound, che sale in fretta, arriva a un massimo e poi scende verso la valle a fine allungo. Per ogni posizione delle ruote il modello calcola l'allungo e la forza sulla freccia.

Messo alla prova su un compound reale da 55 libbre, il modello segue bene la curva forza-allungo misurata, con un piccolo scostamento vicino all'allungo pieno che l'autore attribuisce all'allungamento di corda e cavi, non incluso nel calcolo. La curva misurata in trazione sta sempre un po' sopra quella misurata tornando indietro, per l'attrito delle ruote e l'isteresi di flettenti, corda e cavi. Anche il percorso della punta del flettente si descrive bene come un arco di cerchio, a patto di cambiare il parametro classico: il raggio è 0,598 volte la lunghezza del flettente, invece dei tre quarti del vecchio modello pensato per gli archi tradizionali. Il controllo interno dei calcoli, che ricava l'energia immagazzinata in due modi indipendenti fino all'allungo pieno di 0,68 m, dà differenze inferiori a un milionesimo di joule.

Il modello è geometrico e statico. Assume un arco simmetrico, corda e cavi inestensibili che non scivolano sulle ruote, cavi sullo stesso piano della corda (il paracavi è ignorato) e flettenti che si piegano secondo la legge di Hooke, come un'asta rigida incernierata in un solo punto. Le equazioni non hanno soluzione analitica e sono risolte per iterazione.

L'arco era un JahtiJakt da 55 libbre. Distanza tra gli assi (102,1 cm), lunghezza del riser (38,1 cm) e dei flettenti (38,9 cm) sono state misurate con un righello d'acciaio; i raggi delle gole (2,68 e 1,99 cm) e la distanza dell'asse dal centro della ruota (1,37 cm) su foto ingrandite delle ruote; gli angoli con un goniometro nautico. I valori sono la media tra la parte alta e quella bassa dell'arco, che non differivano in modo apprezzabile. La posizione della cerniera è stata ricavata adattando un arco di cerchio ai punti misurati dell'asse delle ruote con il flettente piegato. La curva forza-allungo è stata misurata con una bilancia Hanson 8910, tarata con dischi da 2,5 kg fino a 27,5 kg, tirando l'arco lentamente con un verricello fin poco oltre l'allungo pieno e poi lasciandolo tornare, mentre una videocamera registrava bilancia e righello. La rigidità dei flettenti (1032 N/rad) non è misurata direttamente: è il valore che fa coincidere meglio il modello con la curva misurata.

Il modello è stato provato su un solo arco, con ruote rotonde, una configurazione ormai poco diffusa: i compound attuali usano camme di forma diversa, singole, doppie o ibride, che il modello non copre. La rigidità dei flettenti viene ricavata dalla stessa curva che poi il modello riproduce, quindi il buon accordo con la curva forza-allungo è in parte costruito: mostra che la geometria è descritta bene, non che il modello sappia prevedere la curva di un arco mai misurato. La curva compare solo in un grafico, senza una tabella di valori né una misura numerica dello scarto.

Il modello è statico: non dice nulla sulla velocità della freccia, sul rendimento, sulle vibrazioni o sul movimento verticale del punto d'incocco, e ignora il paracavi e l'allungamento di corda e cavi. Il lavoro è stato finanziato da un'azienda finlandese, A-Pipe Oy, senza altre indicazioni sul suo ruolo.

Per chi tira con il compound non c'è un effetto pratico diretto: lo studio non riguarda la mira né la messa a punto di un arco moderno a camme. Spiega però in termini meccanici da dove viene la forma della curva forza-allungo di un compound, cioè dalla combinazione tra la gola della corda, la gola del cavo e l'asse fuori centro, e mostra perché la bilancia segna una forza un po' più alta mentre si tira l'arco che mentre lo si lascia tornare. Chi progetta o modifica ruote di questo tipo, secondo l'autore, ha un modello abbastanza preciso per prevedere che cosa cambia spostando l'asse o cambiando i raggi delle gole.