Paradosso dell'arciere: studio Kooi 1997

Kooi e Sparenberg simulano al computer come si flette una freccia mentre lascia un ricurvo moderno, il fenomeno noto come paradosso dell'arciere, e confrontano i risultati con le forme della freccia riprese da Pękalski con una cinepresa ad alta velocità, sull'attrezzatura di uno dei migliori arcieri polacchi. La freccia, una Easton 1714X7 in alluminio da 18,8 grammi, si piega tre volte prima che la cocca passi il bottone: la prima con la punta e soprattutto la cocca spinte a sinistra e il centro a destra (per un destrimane), poi al contrario quando la corda arriva al brace, verso 0,015 secondi, poi di nuovo come la prima volta, e questo aiuta le penne a passare l'arco. La freccia tocca il bottone due volte, una breve e leggera subito dopo il rilascio e una più lunga e con più forza.

Secondo il modello la freccia lascia la corda nel momento in cui la cocca ripassa per il piano centrale dell'arco, non dopo una lunga sosta in quel piano come prevedeva il modello di Pękalski. Cambiando solo il diametro dell'asta, una freccia più morbida (15/64 di pollice) sbatte contro il bottone, mentre una più rigida (21/64) passa con più margine ma lascia la corda con un colpo laterale più forte sulla cocca. L'energia del movimento laterale della freccia arriva al massimo a 0,05 joule, contro i 30,2 joule immagazzinati nell'arco teso.

La freccia è una trave elastica sottile con una massa a ciascuna estremità, la cocca e la punta, che scorre senza attrito sul rest ed è trattenuta da un solo lato dal bottone, rappresentato come una molla precaricata. La spinta della corda lungo la freccia non è calcolata di nuovo: viene dalla curva forza-allungo dinamica di un ricurvo Greenhorn Comet TD 350 da 68 pollici e 30 libbre, calcolata nel lavoro del 1991 e riscalata sull'Hoyt Pro Medalist da 66 pollici e 34 libbre usato da Pękalski. Il rilascio è descritto come uno spostamento laterale della cocca di 2,29 mm mentre la corda scivola per 3,5 mm sulle dita; lo spostamento della cocca e un coefficiente per l'elasticità laterale dell'arco (0,68) sono stati regolati per adattare il modello ai dati del filmato.

Il bottone è un modello del commercio di cui sono state misurate le caratteristiche: costante della molla di 622 N/m, precarico di 3,3 N, corsa di 7 mm raggiunta a 7,65 N. La rigidezza dell'asta è quella del produttore, 2,6 N·m², più alta dei 2,088 N·m² usati da Pękalski. L'arco è tenuto fermo, come su una macchina lanciafrecce, ed è a centro. Le equazioni sono risolte alle differenze finite, con 32 tratti lungo l'asta e passi di 0,01 millisecondi.

Il confronto con l'esperimento si regge su un solo filmato, preso dalla tesi di Pękalski, e due parametri del modello sono stati regolati proprio per adattarsi a quel filmato: l'accordo tra le forme calcolate e quelle riprese è quindi in parte costruito. Anche la curva della spinta viene da un arco diverso da quello filmato, riscalato perché avesse la stessa energia. L'arco è tenuto fermo e a centro, senza la mano dell'arciere e senza stabilizzatori, che gli autori lasciano a lavori futuri.

La prova sui diametri cambia insieme rigidezza e peso della freccia, quindi non separa i due effetti, e riguarda solo tre aste. Il movimento della freccia è studiato solo nel piano orizzontale e solo finché la cocca passa il bottone: il resto del volo e il punto d'impatto non sono considerati. Nell'introduzione gli autori citano anche una stima dei libbraggi degli archi lunghi medievali (oltre 450 newton per frecce da 60 grammi) come possibile applicazione del modello, ma lo studio non la ricalcola.

Per chi tira un ricurvo lo studio dà una descrizione meccanica di quello che l'accordatura cerca di ottenere. La freccia non esce dritta: si piega più volte e, se lo spine è adatto, passa attorno al bottone senza toccarlo con la coda; con un'asta troppo morbida la cocca sbatte contro il bottone, con una troppo rigida passa ma riceve un colpo laterale più forte quando lascia la corda. Il bottone non è un dettaglio passivo: la freccia ci spinge contro due volte, e la sua molla entra nel movimento.

Il modello attribuisce l'inizio dell'oscillazione allo spostamento laterale della corda sulle dita al rilascio, cioè a qualcosa che dipende dalla tecnica. Restano risultati di simulazione su una macchina ideale, con un solo arco e una sola freccia di riferimento: spiegano la logica delle tabelle dello spine e della regolazione del bottone, ma non sostituiscono le prove di accordatura sul campo.