Stabilizzatore e vibrazioni dell'arco: Zaniewski 2012

Simulazione di un arco ricurvo con stabilizzatore a più aste durante il moto comune di corda e freccia, cioè i primi 15,8 millesimi di secondo del tiro. La geometria è quella di un sistema commerciale: asta centrale da 760 mm, due aste laterali da 420 mm su un supporto regolabile, un'asta corta da 250 mm, con pesi all'estremità di 43, 37 e 28 grammi.

Durante il tiro l'asta centrale si flette verso l'alto e il suo capo libero si sposta di circa un millimetro, in direzione opposta alla rotazione del riser, che quindi compensa in parte. Le aste laterali compiono circa due oscillazioni, con il primo massimo a 4,6 millesimi di secondo dal rilascio, il minimo a 9,4 e il secondo massimo a 12,7, sempre negli stessi istanti qualunque sia la loro posizione. L'ampiezza invece dalla posizione dipende molto: a divaricazione massima lo spostamento complessivo è 1,3 volte quello delle aste parallele con la stessa inclinazione, e 2,4 volte a inclinazione nulla.

Il decremento di dissipazione delle aste laterali risulta fra 0,24 e 0,29, dove in teoria delle vibrazioni 0,1 è già considerato alto: in tre o quattro oscillazioni, cioè fra 28 e 34 millesimi di secondo, l'ampiezza cala di un ordine di grandezza. Siccome la potenza dissipata va con il quadrato dell'ampiezza, divaricare le aste e appiattirne il piano aumenta la dissipazione da 1,7 a 5,6 volte rispetto alle aste parallele. Il confronto finale: senza stabilizzatore l'energia cinetica di riser e flettenti durante il tiro è superiore del 79% a quella dello stesso arco stabilizzato, con sette oscillazioni complete nel corso del moto.

Equazioni di Lagrange del secondo ordine per il sistema arco più aste, aste trattate come travi di Euler-Bernoulli a sbalzo con una massa in punta, problema di Cauchy risolto col metodo di Runge-Kutta nel modulo NDSolve di Mathematica. Il piano considerato è quello verticale di simmetria dell'arco, e il moto è solo quello interno, dal rilascio della corda al distacco della freccia.

I numeri dell'arco di esempio vengono da lavori precedenti dello stesso autore: flettenti lunghi 531 mm e pesanti 107 grammi, braccio virtuale del riser 342 mm, corda da 6,9 grammi, freccia lunga 783 mm e pesante 22,4 grammi. Le aste laterali si muovono su due angoli, l'inclinazione rispetto all'asta centrale, da 0 a 17 gradi, e la divaricazione fra loro, da 0 a 35 gradi, e la simulazione gira sulle quattro combinazioni estreme. Per ciascuna l'autore riporta lo spostamento del capo libero nei tre punti di inversione, scomposto in componente normale e tangenziale.

Il metodo di calcolo è controllato in un caso noto: azzerando la massa in punta e l'inerzia dell'arco, gli autovalori calcolati coincidono con quelli della trave a sbalzo di manuale, e per un'asta singola con i valori tipici di un arco l'errore relativo è dello 0,21%.

Nel modello non c'è l'arciere. L'arco è vincolato a un punto fermo, la mano e il braccio non hanno massa né cedimento, e l'autore lo mette per primo fra i problemi aperti: il modello va completato con le proprietà del corpo di chi tira. Non c'è nemmeno nessuna misura, né accelerometri sulle aste né confronto con un arco reale, e l'unico controllo è interno, fra il metodo di calcolo e una soluzione di manuale. I numeri valgono per un arco e uno stabilizzatore soli, con una freccia e un libbraggio soli, e non sappiamo come cambierebbero altrove.

L'energia dissipata in più non è tradotta in niente che un arciere misuri: non c'è un legame con il punto d'impatto, con l'ampiezza del gruppo o con il punteggio. La frase dell'introduzione secondo cui il rinculo disperde le frecce è ripresa da un altro lavoro, non dimostrata qui, e lo stesso vale per l'idea, citata nella stessa riga, che le sensazioni di rinculo producano un riflesso prima del rilascio.

Il modello si ferma al distacco della freccia e lascia fuori quello che la maggior parte degli arcieri chiama vibrazione dell'arco, cioè quello che si sente dopo; l'autore lo indica come secondo problema aperto. Nel testo lo spostamento dell'asta centrale è dato una volta come circa 1 mm e poche righe dopo come 1,2 mm, e il primo massimo delle aste laterali è stampato come 4,6 secondi invece di 4,6 millesimi.

Lo studio parla a chi monta lo stabilizzatore e fa una sola affermazione quantitativa su una regolazione: a parità di tutto il resto, aste laterali più divaricate e meno inclinate si flettono di più e quindi dissipano più energia, fino a 5,6 volte più di aste parallele. È un conto, non una prova in campo, e non dice niente su gruppi o punteggi: l'energia che se ne va nelle aste è energia che non arriva alla mano dell'arco, e il legame fra quella mano e il punto d'impatto resta fuori dal modello.

Due numeri, invece, aiutano a inquadrare quello che si sente tirando. Il primo: tutto quello che lo stabilizzatore fa mentre la freccia è ancora sulla corda dura meno di 16 millesimi di secondo, e in quel tempo il capo dell'asta centrale si muove di circa un millimetro, non di una scodata visibile. Il secondo: l'oscillazione delle aste laterali si smorza di un ordine di grandezza in circa tre centesimi di secondo, quindi quando l'arciere la sente nella mano la freccia è già via da un pezzo. Nel modello lo stabilizzatore lavora soprattutto in opposizione: il riser ruota in un senso e l'asta centrale si flette nell'altro.