Spareggio nel tiro con l'arco: cosa decide quella freccia

Fa parte della guida completa: Come migliorare il punteggio nel tiro con l'arco

Cinque set giocati, cinque pari. Il tabellone segna cinque a cinque e il regolamento non prevede un sesto set, perché i set erano cinque e cinque ne sono stati tirati: prevede una freccia. I due arcieri tornano in linea, ne tirano una per uno, e vince chi la piazza più vicino al centro. Il match, il turno e talvolta la medaglia si decidono in poco più di quaranta secondi e in due tiri.

Su questa regola tutti hanno un'opinione, e sono sempre le stesse due. La prima dice che è una lotteria, che ridurre una sfida a un colpo solo è un modo elegante di tirare una monetina. La seconda risponde che una freccia è pur sempre una freccia, che sotto pressione emerge chi è più forte, e che il più bravo quel tiro lo fa meglio proprio perché è il più bravo. Sono due posizioni rispettabili, si scontrano da quindici anni, e la discussione è rimasta quasi sempre senza cifre.

A uno strumento di misura, però, si può fare una domanda che alle opinioni non si può fare: non se sia giusto, ma quanto sbagli. Su cento spareggi tirati fra due arcieri di forza diversa, quante volte quella freccia indica davvero il più preciso dei due? È una percentuale, e si ricava dalla geometria del bersaglio e dalle regole di gara senza bisogno di andare al campo. Il conto viene da un lavoro che ho pubblicato nel Laboratorio, dove è svolto per esteso e accompagnato dal codice per rifarlo.

La procedura, per intero

Nel ricurvo individuale un match si gioca al meglio di cinque set da tre frecce. Ogni set vale due punti a chi totalizza di più, uno per uno se i due pareggiano, e vince il match chi arriva a sei punti-set. La somma delle frecce non conta: contano i set. Questo produce un esito che il punteggio cumulativo non potrebbe produrre, perché se dopo cinque set il tabellone dice cinque a cinque non c'è modo di proseguire, e il regolamento cambia registro.

Chiede allora una freccia per uno e assegna la vittoria a quella che atterra più vicino al centro. Formalmente i criteri sono due in sequenza, prima il punteggio dell'anello e poi, a parità di anello, la distanza dal centro, ma per due frecce che colpiscono la zona di punteggio su un bersaglio fatto di cerchi concentrici i due criteri coincidono sempre: una freccia più interna non può finire in un anello di valore inferiore. Se anche la distanza è identica si tira di nuovo, e se entrambe le frecce mancano la zona di punteggio entrambi ne tirano una in più.

Nelle finali internazionali il tiro è alternato, un arciere per volta, venti secondi a freccia, quindi uno spareggio sono due tiri e poco più di quaranta secondi di orologio, più il tempo che i giudici impiegano a misurare. La procedura è cambiata nel tempo: per qualche anno due dieci obbligavano a ripetere, e quella disposizione oggi non c'è più. Il compound funziona diversamente, perché il match è cumulativo su quindici frecce, ma anche lì la parità si risolve con una freccia sola, e tutto quello che segue vale per entrambi gli archi.

Allo spareggio non ci si arriva a caso

Prima di misurare quanto quella freccia sbagli, va chiarito un punto che cambia la lettura di tutti i numeri successivi: gli spareggi non capitano fra due arcieri qualunque. Capitano fra due arcieri che hanno appena giocato cinque set senza che nessuno dei due riuscisse a staccare l'altro, e questo li seleziona.

La frequenza lo mostra bene. Fra due arcieri identici da 690 punti il match a set finisce cinque pari nel 20,3 per cento dei casi, cioè un match su cinque. A dieci punti di distacco scende al 16,8, a venti punti al 10,8. Più i due si somigliano, più è probabile che la partita arrivi a quel punto, ed è esattamente per questo che gli spareggi selezionano le coppie simili.

Il risultato pratico è che il divario medio fra due arcieri che a uno spareggio ci arrivano davvero sta fra i nove e i quattordici punti su settantadue frecce, a seconda di com'è composto il campo. Non sono due sconosciuti presi a sorte: sono due che, sulle frecce già tirate, non si sono distinti.

Che cosa dice davvero una freccia sola

Prima di quantificare l'errore conviene guardare il meccanismo, perché spiega sia perché la regola funziona sia perché funziona poco. Una freccia che atterra vicino al centro è un indizio a favore del più bravo, una che atterra lontano è un indizio contro, e la forza di quell'indizio si può calcolare punto per punto sul bersaglio.

Prendendo come esempio un arciere da 690 punti contro uno da 670, una freccia piantata a un centimetro dal centro ha il sessantotto per cento di probabilità in più di venire dal più preciso dei due. Una a dodici centimetri ha due volte e mezzo la probabilità di venire dal meno preciso, e poco oltre i dodici centimetri e mezzo esattamente il triplo. Fra questi due estremi esiste un punto di indifferenza, attorno ai sette centimetri dal centro, dove la freccia non dice assolutamente nulla su chi dei due l'abbia tirata.

Da qui discende una proprietà della regola che vale la pena conoscere, perché è il contrario di quello che sostiene chi la critica: leggere quella freccia guardando chi è arrivato più vicino al centro è la lettura migliore possibile. Non esiste un modo diverso di interpretare quel singolo tiro che faccia meglio, perché la probabilità che l'indizio sia a favore del più bravo cresce in modo continuo man mano che la freccia si avvicina al centro, e ordinare per distanza è precisamente ordinare per forza dell'indizio.

Anche il dettaglio della distanza, rispetto al solo anello, porta qualcosa: leggere soltanto il valore dell'anello e sorteggiare in caso di parità farebbe scendere l'affidabilità di circa due punti percentuali. La misura al millimetro che fanno i giudici, insomma, non è una formalità.

Il limite sta altrove, ed è quantitativo prima che concettuale. Un arciere da 690 mette la freccia nel dieci sei volte su dieci, uno da 650 tre volte su dieci: le due nuvole si sovrappongono per la maggior parte della loro estensione, e una sola estrazione da due distribuzioni così simili non basta a dire da quale delle due venga.

Quanto devono essere lontani perché quella freccia se ne accorga

La domanda si può girare come si gira quella su una bilancia: qual è la differenza minima che lo strumento riesce a percepire. Per rispondere serve una definizione di più bravo, e il saggio ne adotta una deliberatamente povera, cioè chi raggruppa più stretto e nient'altro, dichiarata prima di guardare qualunque risultato. Definire il più bravo come chi ha vinto renderebbe ogni regola infallibile per costruzione.

Con quella definizione il conto si chiude in una riga: la probabilità che la freccia di spareggio indichi il più preciso dipende solo dal rapporto fra le larghezze dei due gruppi. E la scala su cui leggere ogni risposta ha due estremi fissi, il cinquanta per cento, che si ottiene lanciando una monetina senza nemmeno guardare il bersaglio, e il cento.

I dieci millimetri della seconda riga meritano un commento, perché sono la distanza che separa un arciere di vertice da uno di buon livello, non due arcieri che si somigliano. Per arrivare a sessanta volte su cento, cioè a una affidabilità che nessuno definirebbe soddisfacente, quella freccia ha bisogno di quasi quindici punti di divario su settantadue frecce.

Il rovescio è ancora più chiaro. Fra due arcieri separati da cinque punti su un round completo, che valgono tre millimetri e mezzo di gruppo, lo spareggio indica il più preciso circa cinquantaquattro volte su cento. Siamo a quattro punti percentuali dal lancio della moneta.

E il quadro peggiora scendendo di livello, per una ragione geometrica: le nuvole larghe si sovrappongono molto più di quelle strette, quindi la stessa differenza relativa diventa più difficile da leggere. Per raggiungere il sessanta per cento di affidabilità servono 12,5 punti di divario fra arcieri da 700, 14,8 fra arcieri da 690, 19,3 fra arcieri da 670 e 23 fra arcieri da 650. Chi organizza una gara regionale lavora quindi con uno strumento più grossolano di chi organizza una finale mondiale.

Il numero che risponde alla domanda

Mettendo insieme le due cose, cioè la risoluzione dello strumento e il fatto che gli spareggi selezionino coppie simili, si ottiene la risposta alla domanda di partenza. Nelle situazioni in cui viene davvero chiamato in causa, lo spareggio indica il più preciso dei due fra il 55 e il 57 per cento delle volte.

Il confronto che rende il numero interessante è con lo scenario in cui gli spareggi capitassero fra arcieri estratti a sorte dal campo, senza il filtro dei cinque set giocati alla pari: in quel caso la stessa regola indicherebbe il più preciso fra il 57 e il 61 per cento delle volte. La differenza fra i due valori è tutta prodotta dalla selezione.

La diagnosi che ne esce è precisa e va contro quella che si sente al campo. Lo spareggio è vicino al lancio di moneta non perché legga male la freccia, ma perché viene chiamato in causa proprio quando i due arcieri si somigliano troppo perché una freccia sola possa distinguerli. Il problema non sta nella lettura, sta nella quantità di informazione disponibile: settantadue frecce contro una.

Perché tirarne di più non è la scorciatoia che sembra

La proposta che viene in mente a chiunque è aggiungere frecce. Funziona, e si può quantificare: per una coppia distante dodici punti, una freccia sola indica il più preciso il 58 per cento delle volte, due frecce il 62, tre il 65. Le prime aggiunte sono anche le più redditizie, perché la seconda e la terza freccia valgono ciascuna più di ogni successiva e da sole recuperano due quinti di tutto il guadagno che si otterrebbe arrivando a nove.

Il costo in tempo è modesto: due frecce in più a testa nel tiro alternato sono quattro tiri, poco più di un minuto.

Il problema arriva dopo, e ha la forma di una legge nota. La precisione di una misura ripetuta cresce come la radice quadrata del numero di prove, quindi passare da una a quattro frecce moltiplica il vantaggio per 2,13, passare da quattro a sedici lo moltiplica per 1,85, e passare da sedici a sessantaquattro solo per 1,45. Il rendimento cala mentre il tempo cresce in modo lineare, il che significa che non esiste un numero ragionevole di frecce capace di trasformare uno spareggio in uno strumento affidabile.

La pressione, messa in numeri

L'obiezione più frequente a tutto questo discorso è che il modello non tiene conto della pressione, e che la freccia di spareggio non è una freccia come le altre. L'obiezione è legittima, e il saggio la affronta quantificandola invece di respingerla.

Si può esprimere la pressione come un peggioramento temporaneo del gruppo, misurato in punti di punteggio equivalente, e vedere quanto sposta il risultato. Per la coppia tipica distante dodici punti, senza pressione lo spareggio indica il più preciso il 58,3 per cento delle volte; con un calo equivalente a dieci punti scende al 56,5, con venti al 55. Per abbattere davvero lo strumento servirebbe molto di più: un calo di ventidue punti per scendere al 55 per cento, di settantotto per arrivare al 52, di centoquaranta per toccare il 51.

L'ultimo numero dà la misura della cosa, perché un calo di centoquaranta punti significherebbe che un arciere da 690 in quel momento tira come uno da 550. Finché la pressione colpisce i due contendenti allo stesso modo, insomma, sposta il risultato di qualche punto percentuale e non cambia la conclusione. Se invece agisse in modo diverso sui due, il conto non lo copre, e il saggio lo dichiara apertamente fra i propri limiti.

Sul tabellone, dove conta di più

Le conseguenze si vedono meglio guardando un torneo intero. In un tabellone da sessantaquattro arcieri, con sessantatré match, il formato a set manda a spareggio fra gli otto e i dieci match, poco più del doppio di quanto farebbe il punteggio cumulativo, che si fermerebbe attorno a cinque.

Più interessante è come le due grandezze si muovano lungo il tabellone, perché vanno in direzioni opposte. Al primo turno finisce a spareggio circa l'11,5 per cento dei match, e salendo di turno la quota cresce fino a quasi il 19 per cento in finale, perché mano a mano che si procede restano in gara arcieri sempre più simili fra loro. Nello stesso tempo l'affidabilità della freccia scende: al primo turno indica il più preciso fra il 57 e il 61 per cento delle volte, in finale fra il 51,5 e il 55,5. Il divario medio fra i due contendenti passa da quindici punti a cinque.

Messo in una frase: circa una finale su cinque si decide con una freccia sola, e quella freccia, proprio lì, indica il più preciso poco più di cinquantatré volte su cento. Lo strumento diventa meno affidabile esattamente dove la posta è più alta.

Che cosa il conto non guarda

Questi numeri escono da un modello, non da una raccolta di risultati veri, ed è giusto dire con precisione che cosa resta fuori. Nessun dato di persone reali entra nel lavoro: i profili da 690 o da 678 non sono i punteggi di nessuno, ma arcieri sintetici definiti dalla larghezza del loro gruppo. Tutto viene da tre sorgenti pubbliche e impersonali, cioè la geometria del bersaglio fissata dal regolamento, le regole dei formati di gara e un modello statistico della dispersione dei tiri.

La definizione di bravura è povera per scelta, e lascia fuori la tenuta nervosa, la lettura del vento e la capacità di produrre il tiro giusto quando serve, cioè proprio le qualità che pesano di più nel momento in cui quella freccia va tirata. È una scelta che ha una virtù, perché il gruppo si misura mentre le altre qualità non hanno un metro condiviso, ma resta una scelta.

Il limite più serio riguarda l'indipendenza delle frecce. Il conto assume che la freccia di spareggio esca dalla stessa nuvola delle altre, e chi ha confrontato le frecce di spareggio con quelle del match ha trovato indizi che non sia così. Il saggio lo dichiara come il punto più fragile dell'impianto.

Sulla forma della nuvola, invece, il risultato tiene: provando nove forme diverse, dalla circolare a quelle spostate o allungate, la banda dei risultati resta stretta e nessuna delle forme porta lo spareggio vicino a essere affidabile.

Che cosa farsene, da arciere e da istruttore

Per chi tira, la conseguenza è che uno spareggio perso non è un referto sulla propria tecnica. Se ci sei arrivato, vuol dire che nei cinque set precedenti tu e il tuo avversario non vi siete separati, e quella freccia, in quelle condizioni, è vicina a una monetina. Analizzare per settimane il singolo tiro che ha deciso un match significa cercare un segnale dentro un dato che quel segnale non lo contiene.

Vale anche il rovescio, ed è la parte che fa meno piacere: uno spareggio vinto dice poco sul merito relativo dei due. Il modo corretto di leggere entrambi i casi è guardare i cinque set che stanno prima, dove le frecce sono quindici e l'informazione è molto maggiore.

Per chi allena, c'è una ricaduta sulla preparazione. Se un match su cinque fra pari livello finisce cinque pari, allora la freccia di spareggio è una situazione ricorrente e non un'eccezione, e vale la pena allenarla come parte della routine, con la stessa sequenza usata per tutte le altre. Non perché quella freccia sia più importante delle altre, ma perché è l'unica che si tira in condizioni che non si ripresentano mai in allenamento.

Dove finisce questo discorso

Resta una domanda che questo articolo non affronta, ed è quella che il saggio sviluppa per intero: se esistano letture migliori di quella situazione, e quanto costino. Alcune non richiedono di tirare una freccia in più, perché usano informazione che è già scritta sul referto, cioè le quindici frecce del match appena concluso.

Il quadro generale in cui questo si inserisce riguarda il modo di contare i punti in un match, che ho raccontato nell'articolo su come funziona il set system, e la precisione della classifica che stabilisce chi incontra chi, di cui ho scritto in quanti punti servono per dire che un arciere è più bravo.

Le domande che mi fanno più spesso

Come funziona lo spareggio nel tiro con l'arco?
Quando un match a set finisce cinque pari, ogni arciere tira una freccia e vince chi la piazza più vicino al centro. Formalmente si guarda prima l'anello e poi, a parità di anello, la distanza dal centro, ma sui cerchi concentrici i due criteri coincidono sempre. Nelle finali il tiro è alternato con venti secondi a freccia. Nel compound il match è cumulativo, ma la parità si risolve allo stesso modo.

Lo spareggio è davvero una lotteria?
Quasi. Nelle situazioni in cui viene davvero usato indica il più preciso dei due fra il 55 e il 57 per cento delle volte, e in una finale scende attorno al 53. Il motivo però non è che la regola legga male quella freccia, anzi è la lettura migliore possibile: è che ci arrivano due arcieri che i quindici tiri precedenti non hanno saputo separare.

Quanto devono essere distanti due arcieri perché lo spareggio funzioni?
Per arrivare a sessanta volte su cento servono quasi quindici punti di divario su settantadue frecce a livello 690, che valgono dieci millimetri di larghezza del gruppo. Fra arcieri da 650 ne servono ventitré. Fra due separati da cinque punti lo spareggio indica il più preciso circa cinquantaquattro volte su cento.

Non basterebbe tirare più frecce di spareggio?
Aiuta, ma meno di quanto sembri. Per una coppia distante dodici punti si passa dal 58 per cento con una freccia al 62 con due e al 65 con tre, poi il rendimento cala: la precisione cresce come la radice del numero di frecce, quindi da sedici a sessantaquattro frecce il vantaggio aumenta solo del 45 per cento. Nessun numero ragionevole di frecce rende lo spareggio affidabile.