Quanti punti servono per dire che un arciere è più bravo

Fa parte della guida completa: Come migliorare il punteggio nel tiro con l'arco

Succede più o meno sempre allo stesso modo. Un arciere cambia qualcosa nel proprio tiro, una presa dell'arco leggermente diversa, un ancoraggio corretto, qualche settimana di lavoro sulla schiena, e alla gara successiva fa quattro punti in più di quella prima. Il lunedì la conclusione è già tratta: ha funzionato. Se invece i punti fossero stati quattro in meno avrebbe concluso il contrario con la stessa sicurezza, e in entrambi i casi avrebbe usato lo stesso strumento per decidere, cioè il totale di una gara.

Quel totale, però, tiene insieme due cose che vale la pena separare: la bravura dell'arciere e il caso di quel pomeriggio. La parte che spetta al caso è molto più grande di quanto chiunque sia disposto a credere prima di vederla calcolata. Sapere quanto valga esattamente cambia parecchie cose pratiche: come si legge una classifica, quando ha senso dire che un atleta è più bravo di un altro, e soprattutto quanto tempo serve prima che il punteggio possa confermare un cambiamento tecnico che si è deciso di fare.

Il conto si può fare, e la risposta è un numero. Quello che segue viene per intero da un lavoro che ho pubblicato nel Laboratorio, dove il calcolo è svolto per esteso e il codice per rifarlo è scaricabile.

Settantadue frecce sono un campione finito

Un round di qualificazione è fatto di settantadue frecce, e settantadue frecce sono un campione finito esattamente come lo sarebbero settantadue misurazioni di qualunque altra cosa. Se la stessa persona, con la stessa identica bravura, ripetesse quel round dieci volte, otterrebbe dieci totali diversi, e la differenza fra il più alto e il più basso non sarebbe un dettaglio trascurabile.

Questo accade perché ogni freccia esce da una distribuzione di impatti attorno al punto di mira, e dove cada la singola freccia dentro quella distribuzione non lo decide la bravura: lo decide il caso. La bravura decide quanto è stretta la distribuzione, cioè quanto stanno vicine fra loro le frecce nel lungo periodo, mentre il totale di una gara specifica dipende anche da come sono andate quelle settantadue estrazioni particolari. Un arciere fortissimo può avere un pomeriggio in cui le frecce si dispongono sfortunatamente sui bordi degli anelli, e un arciere meno forte può averne uno in cui cadono tutte dalla parte buona della linea.

Per capire quanto pesi questo effetto serve un modo di tradurre i punti in qualcosa di fisico, perché finché si ragiona in punti il numero resta astratto e ognuno ci proietta l'importanza che preferisce.

Un punto vale sette decimi di millimetro

La traduzione esiste ed è sorprendentemente stabile. Nell'intera fascia che conta in una gara seria, diciamo dai 630 ai 700 punti su 720, la relazione fra il punteggio atteso e la larghezza del gruppo è quasi perfettamente lineare, e un singolo punto di qualificazione corrisponde a circa sette decimi di millimetro di ampiezza del gruppo, cioè meno di un millimetro.

Le conseguenze di questa equivalenza si vedono subito. Due arcieri separati da tre punti in classifica, che sulla griglia sembrano appartenere a due mondi diversi, differiscono di due millimetri scarsi di ampiezza del gruppo. Otto punti, che a occhio sono un abisso, valgono cinque millimetri e mezzo. Per dare un riferimento concreto alle ampiezze in gioco, un arciere che vale mediamente 690 punti tira dentro una nuvola larga circa quattro centimetri e mezzo, uno da 650 dentro una da sette centimetri abbondanti, e fra questi due mondi, che sul tabellone sono lontanissimi, corrono poco più di due centimetri e mezzo di ampiezza.

Chiedere a settantadue frecce di distinguere in modo affidabile due millimetri di differenza è chiedere a uno strumento più di quanto quello strumento possa dare. Non perché le frecce siano poche in assoluto, ma perché la variabilità naturale del gesto, freccia dopo freccia, produce sul totale oscillazioni dello stesso ordine di grandezza della differenza che si vorrebbe misurare. Il segnale che si vorrebbe leggere, insomma, è più piccolo del rumore che lo accompagna, e il passo successivo consiste nel misurare quanto valga quel rumore su settantadue frecce.

Due arcieri identici finiscono a cinque punti di distanza

Il modo più pulito per misurare quel rumore consiste in un esperimento che sul campo non si può fare ma che con il calcolo sì. Si prendono due arcieri di vertice che siano davvero, esattamente identici, cioè con la stessa nuvola, la stessa bravura, nessuna differenza di alcun genere, e si fanno tirare settantadue frecce ciascuno come in una qualificazione vera. Poi si guarda quale distacco compare fra loro in classifica, sapendo che quel distacco non può essere prodotto da nient'altro che dal caso, perché per costruzione non c'è nulla che li distingua.

Il risultato è che il distacco medio fra due arcieri identici vale cinque punti, e che una volta su tre supera i sei punti e mezzo. Fra due persone che sul bersaglio sono la stessa identica cosa verrebbe spontaneo immaginare uno o due punti di scarto, e invece ne compaiono cinque, con code che arrivano regolarmente più in là.

Chiunque abbia guardato una classifica di qualificazione riconosce l'ordine di grandezza: cinque punti sono il tipo di distacco che in una griglia serrata separa posizioni distanti fra loro diversi posti, ed è il distacco che di solito viene letto come una differenza di valore. Il conto dice che può essere prodotto interamente dal caso, fra due atleti che di valore ne hanno lo stesso.

Quanta fiducia dà un distacco

Dal distacco medio si arriva alla domanda che interessa davvero, cioè quanta fiducia si possa riporre in un distacco osservato. Quando in classifica un arciere sta cinque punti sopra un altro, la probabilità che sia il più preciso dei due, e non semplicemente quello a cui quel pomeriggio è andata meglio, si può calcolare per ogni distacco.

La soglia convenzionale con cui in qualunque ambito si dice di aver stabilito qualcosa è il novantacinque per cento, e per raggiungerla serve un distacco di una decina di punti abbondanti. Sotto i cinque punti, invece, si sta in gran parte leggendo rumore, e ogni volta che due arcieri consecutivi in una classifica sono separati da uno, due o tre punti, cioè la situazione ordinaria in qualunque griglia serrata, il loro ordine reciproco è sostanzialmente indeterminato.

Perché questi numeri sono ottimistici

Su questa tabella vanno dette due cose, e nessuna delle due la rende più indulgente. La prima riguarda ciò che il calcolo assume di non sapere. La confidenza è ricavata come se dei due arcieri non si conoscesse nulla in partenza, cioè come se, prima di guardare i punteggi, ogni possibile differenza di valore fra i due fosse altrettanto plausibile. In una griglia di gara, però, si sa benissimo che i concorrenti vicini in classifica sono quasi sempre vicini anche per valore, e tenerne conto renderebbe un distacco osservato ancora meno probante di quanto la tabella dichiari.

La seconda è che il conto misura soltanto il caso freccia per freccia, tenendo la forma dell'arciere perfettamente costante dal primo tiro all'ultimo. È il rumore che resterebbe se l'unica fonte di variazione fosse la dispersione del gruppo, mentre nella realtà a quella si somma tutto ciò che il modello non guarda, cioè il sonno della notte prima, la condizione di quel pomeriggio, la testa, e quasi tutte queste cose allargano la forchetta invece di stringerla.

C'è un'eccezione che va nel verso opposto e vale la pena nominarla: un disturbo che colpisce entrambi gli arcieri allo stesso modo, come il vento che gira per tutti o la luce che cala sul campo, in parte si cancella nella differenza fra i due punteggi, e rende quel distacco più informativo, non meno. Il segno netto di tutto ciò che il modello non guarda resta quindi una questione empirica, ma le fonti che colpiscono i due arcieri separatamente sono le più numerose, e per questo i cinque punti di distacco medio, con i dieci che ne discendono come soglia, vanno letti come una stima ottimistica dell'ambiguità vera di una classifica.

Che cosa farsene, leggendo una classifica

Per chi allena, quella stima ottimistica si traduce in una regola da usare ogni volta che si guarda un tabellone di risultati. Se un atleta ha chiuso quarto invece che secondo, e fra lui e il secondo corrono tre punti, quel distacco da solo non stabilisce nessuna differenza stabile di precisione fra i due, e costruirci sopra un'analisi tecnica significa spiegare qualcosa che potrebbe non essere successo. Se invece è arrivato dodicesimo invece che quarto, con quindici punti di distacco, quello è un segnale robusto, e vale la pena capire da dove viene.

La stessa logica si applica al confronto fra due gare dello stesso arciere, che è il caso più frequente di tutti. Il totale di domenica scorsa e quello di domenica prossima differiranno di qualche punto quasi sicuramente, e quella differenza, presa da sola, non dice nulla su quello che è successo in mezzo. Per questo un arciere che voglia capire se sta migliorando ha bisogno di una strategia diversa dal confronto fra due numeri consecutivi.

Quante gare servono per dimostrare un miglioramento

La via d'uscita esiste e non richiede di tirare meglio: richiede di misurare di più. Il caso di una singola gara non si può eliminare, ma si può diluire facendo la media di più gare, e la diluizione è rapida, perché la variabilità della media scende con la radice del numero di round. Quattro gare dimezzano l'incertezza rispetto a una sola, e nove la riducono a un terzo.

Da qui si arriva alla domanda pratica, cioè quante gare servano prima e dopo un cambiamento tecnico perché un miglioramento di una certa entità diventi dimostrabile. Per un arciere che tira intorno ai 650 punti, il conto dà questi numeri.

Tre punti guadagnati in una stagione sono un ottimo lavoro tecnico, e per dimostrarli col punteggio servirebbe una trentina di gare, in pratica due stagioni. Dieci punti invece si vedono in tre gare per periodo. Fra questi due estremi ricade la maggior parte dei cambiamenti tecnici reali, ed è la ragione per cui il punteggio, da solo, raramente chiude la questione entro la stagione in cui il cambiamento è stato fatto.

Il livello, poi, sposta ancora le carte, e lo fa nel verso meno comodo. Lo stesso miglioramento di tre punti, per un arciere da 690, richiede tredici gare invece delle ventinove che ne servono a uno da 650, perché il totale di chi tira più stretto oscilla meno. L'arciere ancora in piena fase di cambiamento, che avrebbe più bisogno di un riscontro rapido, è quindi anche quello che deve aspettare più a lungo prima di averlo.

La lentezza del punteggio come misura

Tutto questo rischia di suonare come una demolizione del punteggio, e sarebbe la conclusione sbagliata. Il totale di una gara resta la misura più completa di cui disponiamo, perché al totale finale concorre tutto insieme, la tecnica come la tenuta sulla distanza, il vento come quello che succede nella testa quando il punteggio conta. Nessun indicatore parziale, per quanto preciso, contiene altrettante cose in un numero solo.

Quello che le manca è la velocità. Una misura che tiene dentro tutto raccoglie anche tutta la variabilità di tutto, e per questo ha bisogno di tempo per stabilizzarsi. Il punteggio è quindi un ottimo strumento su una stagione e uno strumento scadente su una domenica, pur essendo lo stesso strumento: dietro il numero di una domenica ci sono settantadue frecce, dietro la media di una stagione qualche migliaio.

Ne segue un modo diverso di tenere i propri risultati. Invece di confrontare l'ultima gara con la precedente, che è il confronto meno informativo possibile fra tutti quelli disponibili, conviene tenere una media mobile delle ultime quattro gare e guardare come si muove nei mesi. Quella media ha esattamente metà dell'incertezza di una gara singola, e soprattutto si muove poco, il che la rende noiosa da guardare ogni settimana ma affidabile quando si muove davvero.

Nello stesso registro va letto il confronto con gli altri. Una classifica di qualificazione ordina bene i gruppi lontani fra loro e ordina male i vicini, quindi dice qualcosa di solido sul fatto che un arciere da 650 stia sotto uno da 690, e quasi nulla sull'ordine fra due vicini di classifica. Chi si misura contro il compagno di società che sta un paio di punti sopra o sotto sta inseguendo una differenza che il metro usato per stabilirla non riesce a vedere.

C'è infine una conseguenza che riguarda le scelte di allenamento più che la lettura dei risultati. Se il punteggio impiega mesi a registrare tre punti di miglioramento, allora una stagione non basta per provare più di una o due strade diverse, e l'arciere che ogni sei settimane cambia impostazione perché "non si vedono risultati" azzera ogni volta l'accumulo di gare su cui la misura si baserebbe, e riparte da capo. Perché il punteggio dica qualcosa su una scelta tecnica, quella scelta deve restare in piedi per il numero di gare della tabella, che per tre punti di miglioramento sono una trentina.

Su che cosa si giudica un cambiamento, allora

Da tutto questo discende una regola operativa che vale la pena enunciare per intero, perché è la conseguenza pratica più immediata: un cambiamento tecnico non si giudica sul punteggio nel breve periodo, perché nel breve periodo il punteggio non ha la risoluzione per vederlo. Il limite sta nello strumento, prima ancora che nella pazienza di chi aspetta: si sta chiedendo a una misura di distinguere una differenza più piccola del suo margine di errore.

Il che non significa restare senza riscontri per due stagioni, ma cambiare il riscontro. La ripetibilità del gesto si vede molto prima del punteggio, perché si misura sulla dispersione delle frecce e non sul totale, e la dispersione risponde al cambiamento senza dover aspettare che il caso si medi. La forma del gruppo dice altrettanto in fretta: un gruppo che si allunga in verticale o in orizzontale indica dove sta il problema, e cambia forma quando la causa viene rimossa, come racconto nell'articolo su come cresce il gruppo con la distanza. E il video mostra direttamente se il gesto che si voleva cambiare è cambiato, che è una domanda diversa e molto più facile di "sto tirando meglio".

Al punteggio si chiede la conferma dopo, quando le gare si sono accumulate. È il rovescio esatto di come funziona di solito, cioè punteggio subito e sensazioni dopo, e nella pratica cambia soprattutto una cosa: toglie la tentazione di rimettere mano alla tecnica il lunedì dopo una gara storta, quando l'unico dato disponibile è un totale singolo, e un totale singolo non distingue un peggioramento reale da un pomeriggio in cui le frecce sono cadute dalla parte sbagliata della linea.

La stessa misura, dentro il match

Un'ultima conseguenza riguarda quello che succede dopo la qualificazione. Se settantadue frecce faticano a separare due arcieri vicini, un match di eliminazione diretta, che di frecce ne ha al massimo quindici, ne separa molti meno, e questo spiega perché nelle fasi finali le sorprese siano frequenti e non siano affatto anomalie.

È il punto in cui questo ragionamento si allaccia a una discussione più grossa, cioè quella sul modo di contare i punti in un match. Nel saggio sul set system ho calcolato quanto costi, in precisione, decidere un match a set invece che sommando le frecce, e il risultato interessante non è tanto il costo in sé quanto la proporzione: ci si accapiglia su un'aritmetica che sposta gli esiti di un paio di punti percentuali, mentre lo strumento che stabilisce chi è il favorito, cioè il round di qualificazione, lascia indeterminato l'ordine di quasi tutte le coppie vicine. Fra le due imprecisioni corre un ordine di grandezza, e la più grossa sta a monte, nel round di qualificazione che stabilisce chi entra in tabellone da favorito.

Nel saggio ci sono il calcolo completo, le prove che il risultato non dipende dalla forma della nuvola, e il pacchetto di codice con cui chiunque può rifare i conti e controllare se i numeri pubblicati sono quelli che il calcolo produce davvero.

Le domande che mi fanno più spesso

Quanti punti di differenza contano davvero in una classifica?
Servono una decina di punti abbondanti per dire con il novantacinque per cento di sicurezza chi dei due arcieri è il più preciso. A otto punti la confidenza è del novanta per cento, a cinque del settantanove, a tre del sessantotto. Sotto i cinque punti si sta in gran parte leggendo rumore, e fra arcieri separati da uno o due punti l'ordine è indeterminato.

Perché due arcieri identici non fanno lo stesso punteggio?
Perché settantadue frecce sono un campione finito. Dove cade la singola freccia dentro la dispersione del gruppo lo decide il caso, non la bravura, e su settantadue estrazioni le differenze si accumulano: fra due arcieri di vertice esattamente identici il distacco medio prodotto dal solo caso vale cinque punti, e una volta su tre supera i sei e mezzo.

Ho cambiato qualcosa nella tecnica e il punteggio non sale: è normale?
Sì, ed è quello che ci si deve aspettare nel breve periodo. Per dimostrare col punteggio un miglioramento di tre punti servono circa ventinove gare per periodo a un arciere da 650, e tredici a uno da 690. Nel frattempo il cambiamento si giudica sulla ripetibilità, sulla forma del gruppo e sul video, e al punteggio si chiede la conferma mesi dopo.

Quanto vale un punto di qualificazione in millimetri?
Circa sette decimi di millimetro di ampiezza del gruppo, e il valore resta praticamente lo stesso in tutta la fascia dai 630 ai 700 punti. Otto punti in classifica corrispondono quindi a cinque millimetri e mezzo di differenza sul bersaglio, il che spiega perché settantadue frecce facciano fatica a separare due arcieri vicini.