Ho fatto più punti e ho perso: come funziona il set system

Fa parte della guida completa: Come migliorare il punteggio nel tiro con l'arco

Il tabellone dice quattro a sei e il referto dice centoquarantadue a centotrentasei. L'arciere che ha perso ha messo sul bersaglio sei punti in più dell'avversario, set dopo set ha tirato 30, 27, 28, 30 e 27 contro 26, 28, 29, 25 e 28, e torna a casa eliminato. Non è successo niente di strano e nessuno ha sbagliato a contare: il sistema ha funzionato esattamente come deve.

Capire perché richiede di guardare come è fatta l'aritmetica di un match, che dal 2010 non è più quella che quasi tutti hanno in testa. Da lì si arriva alle domande che interessano davvero: quanto spesso succede una cosa del genere, se capiti più ai forti o ai deboli, e se il formato faccia quello che la federazione diceva di volere quando lo ha adottato.

I numeri che seguono vengono da un lavoro che ho pubblicato nel Laboratorio, dove il calcolo è svolto per intero e il codice per rifarlo è scaricabile.

Come si conta un match a set

La regola è semplice da enunciare. Il match si spezza in set da tre frecce; chi in un set totalizza di più si aggiudica due punti-set, e se il set finisce pari se ne prende uno per uno; vince il match il primo arciere che arriva a sei punti-set. Siccome i punti-set si accumulano e non tornano indietro, il match finisce nell'istante esatto in cui uno dei due tocca quota sei, il che può accadere in tre set, in quattro o in cinque, cioè dopo nove, dodici o quindici frecce.

Prima del 2009 si contava in un altro modo, quello che nel ricurvo non si usa più ma che nel compound è ancora in vigore: quindici frecce a testa, si sommano tutte, vince il totale più alto. Sono due modi di leggere esattamente le stesse frecce, e sulla stessa identica gara possono dare due verdetti diversi. Il set system entra nel ricurvo individuale nel 2009 e diventa il formato dell'intero circuito maggiore l'anno dopo, e in quella prima stagione non era ancora uniforme, perché le fasi di eliminazione tiravano set da sei frecce e i set da tre valevano solo dai quarti in avanti.

Le ragioni dichiarate erano due. Col vecchio sistema una sfida poteva essere sostanzialmente persa dopo una sola volée sbagliata, perché bastava una freccia disastrosa perché il totale diventasse irrecuperabile, e il formato a set fu adottato per impedirlo, oltre che per premiare la costanza e per tenere il match aperto fino in fondo. Se abbia ottenuto quello che voleva è una domanda a cui si può rispondere con un numero, e ci arrivo fra poco.

Dove finiscono i punti che avanzano

Il meccanismo che produce il referto dell'apertura sta tutto in una proprietà della regola: dentro un set, vincere per un punto vale esattamente quanto vincere per dieci. Il margine viene azzerato al confine del set e non passa oltre, quindi un set vinto 30 a 25 e un set vinto 28 a 27 valgono la stessa cosa, cioè due punti-set.

Quanto si butti via in questo modo si può misurare. Nella fascia in cui il formato pesa di più, cioè quando un arciere da 692 punti di media incontra uno da 675, un set vinto lo si vince in media per 1,76 punti, e in oltre metà dei casi per due o più. Fra due arcieri identici il margine medio scende a 1,41. È quell'informazione, ripetuta a ogni set, che il punteggio cumulativo conserva e il set system scarta.

Nella stessa coppia il più forte si aggiudica il singolo set il 55,5 per cento delle volte, lo pareggia nel 24,7 e lo perde nel 19,8. Il fatto che un set su quattro finisca pari è più importante di quanto sembri, perché una volata pari distribuisce un punto per uno e quindi non separa nessuno: è un pezzo di match che scorre senza produrre informazione utile a decidere chi sia il più bravo.

Quanto costa contare così

La domanda che il saggio si pone non è se il set system sia giusto, ma quanto spesso indichi l'arciere più preciso dei due, e come si comporti rispetto al vecchio conteggio sulle stesse frecce. La differenza si può calcolare in modo esatto, senza simulare gare, e il risultato è che il formato a set costa in precisione, ma poco.

Nel punto in cui il divario è massimo, cioè un arciere da 692 contro uno da 675, il punteggio cumulativo indica il più preciso con probabilità 0,870 e il set system con 0,847. Tradotto in match, su cento incontri il cumulativo indovina ottantasette volte e il set system ottantacinque: due match su cento cambiano padrone, uno ogni quarantatré.

Il costo però non è lo stesso a tutti i distacchi, e la forma della curva dice qualcosa che libera l'allenatore da un equivoco diffuso.

Lo svantaggio, quindi, non è massimo fra arcieri quasi pari, come si crederebbe, ma nel mezzo. Il motivo, una volta detto, è quasi ovvio: quando due arcieri sono quasi identici nessun formato al mondo può fare meglio del lancio di una moneta, perché la sfida è davvero un testa o croce e risolverla a caso non è un errore di misura; quando invece uno è nettamente più forte, ogni regola lo riconosce senza fatica. Solo nella fascia intermedia la scelta del formato ha qualcosa da perdere.

Conta anche il livello assoluto dei due contendenti, e conta nel verso comodo. Il costo di picco vale 1,99 punti percentuali fra arcieri da 700, sale a 2,32 fra arcieri da 692, a 2,63 fra quelli da 680 e a 2,97 fra quelli da 660: fra un match di vertice assoluto e un match di buon livello nazionale il costo del formato passa da due punti scarsi a quasi tre. In cima quasi tutte le frecce finiscono nel dieci, i set si somigliano e le due aritmetiche si assottigliano, il che significa che il formato costa meno proprio dove viene usato di più.

Il match che finisce prima non è il problema

Una spiegazione che si sente spesso attribuisce il costo alla brevità: il match a set può chiudersi in nove frecce invece di quindici, e meno frecce vogliono dire meno informazione. Nella coppia di riferimento la durata media è di 4,268 set, cioè 12,80 frecce invece di 15, quindi qualche freccia in meno si tira davvero.

Il calcolo però smonta questa spiegazione in modo netto. Se si obbligano i due arcieri a giocare tutti e cinque i set anche quando uno ha già raggiunto quota sei, la probabilità di vittoria non cambia di un millesimo: le due versioni danno lo stesso valore fino all'ultima cifra che il calcolatore sappia scrivere. La ragione è aritmetica, perché in cinque set si distribuiscono dieci punti-set in tutto, e chi perde non arriva mai oltre i quattro punti-set contro i sei o più di chi vince. Le frecce che il set system non fa tirare sono esattamente quelle che non avrebbero potuto cambiare il verdetto.

C'è una seconda prova, che va nella direzione opposta all'intuizione. Se invece di accorciare il match lo si allunga, il divario fra i due formati cresce: con un set solo vale esattamente zero, perché non esiste nessun confine interno da attraversare e le due aritmetiche coincidono; con tre set vale 1,84 punti percentuali, con cinque 2,32, e continua a salire fino a circa sei set prima di ridiscendere, perché a ventuno set entrambi i formati sono ormai quasi infallibili e non resta spazio per una differenza. Il costo, in altre parole, nasce dai confini fra un set e l'altro, e più confini ci sono più margine si butta via.

Quanto spesso vince chi ha totalizzato meno

Il referto dell'apertura ha un nome e una frequenza. Fra due arcieri di vertice sostanzialmente pari accade nel 7,1 per cento dei match considerando le frecce effettivamente tirate, e nel 7,6 se si immagina di tirarle tutte e quindici: circa un match su quattordici.

La frequenza cambia con il divario, e cambia nel modo che ci si aspetta.

Qui sta il fatto che vale la pena portarsi a casa, perché va esattamente contro l'indignazione che il referto suscita. Il ribaltamento è più frequente proprio dove il formato non tradisce nessuno: cresce quanto più i due arcieri sono vicini, e il suo massimo cade in prossimità della parità, dove il costo in precisione vale zero. Fra due arcieri identici i ribaltamenti sono frequentissimi, uno su quattordici, e nessuno di essi è un errore, perché non c'è un più preciso da tradire e chiunque vinca il verdetto è legittimo. Man mano che il divario si apre i ribaltamenti si diradano, fino a uno su sessantanove.

La ragione è geometrica. Perché il vincitore abbia totalizzato meno, i due totali devono essere abbastanza vicini da potersi scambiare, e questo succede quando i due arcieri si somigliano. Quando uno è molto più forte il suo totale sta lontano da quello dell'altro, e il caso non basta più a farli incrociare.

Sei match di fila: che cosa succede a un torneo intero

Un match è un match, ma una gara è fatta di sei turni di eliminazione diretta, e per vincere serve superarli tutti. La domanda si può quindi rifare su scala di torneo: quanto spesso il favorito arriva all'oro con un formato e quanto con l'altro, e dove finisce la probabilità che perde per strada.

Su un tabellone a sei turni il verso non cambia mai, in nessuno dei campi di partecipanti costruiti per la prova: il punteggio cumulativo porta il favorito all'oro più spesso del set system, con una differenza che va da 3,3 a 4,2 punti percentuali. In un campo di livello distribuito in modo regolare il favorito vince l'oro il 46,7 per cento delle volte contando a punti e il 42,5 contando a set.

La cosa più utile, però, è il confronto fra quella differenza e un altro fattore. Se invece del formato si cambia la composizione del campo, tenendo il numero di partecipanti uguale ma variando quanto sono vicini fra loro, la probabilità d'oro del favorito passa dal 31 al 58 per cento: ventisette punti percentuali contro i quattro dell'aritmetica. Chi c'è in gara pesa quasi sette volte più del modo in cui si contano i punti, e questo ridimensiona parecchio una discussione che dura da quindici anni.

Resta l'ultima domanda, quella che di solito nessuno pone: i quattro punti che il favorito perde passando al set system, dove vanno a finire? Un torneo assegna un oro comunque, quindi quella probabilità non sparisce, si sposta. Il primo del tabellone ne perde 4,2, il gruppo dalla seconda all'ottava testa di serie ne guadagna 1,9, e il gruppo dalla nona alla trentaduesima ne guadagna 2,3. Il formato a set trasferisce probabilità dal favorito agli outsider, e ne trasferisce di più al gruppo lontano che a quello immediatamente sotto.

La costanza, che il formato doveva premiare

Resta da chiudere il conto con la promessa iniziale. La federazione voleva due cose: impedire che una freccia sfortunata decidesse un match, e premiare la costanza. La prima l'ha ottenuta, e i conti lo confermano, perché il formato confina il danno di una freccia dentro il set in cui cade. Sulla seconda i conti dicono l'opposto.

La misura si fa mettendo di fronte due arcieri con lo stesso punteggio atteso, dei quali però uno tira regolare e l'altro ogni tanto piazza una freccia rovinosa. Sotto il punteggio cumulativo il regolare vince il 48,5 per cento dei match; sotto il set system scende al 45,4, e il verso non cambia né al vertice né più in basso. Circa tre punti percentuali di vantaggio passano quindi da chi tira costante a chi ogni tanto sbaglia una freccia, ed è la conseguenza diretta della protezione che il formato offre: isolare la freccia catastrofica nel set in cui cade significa proteggere chi la tira.

Vale la pena notare che questa stessa proprietà è quella che il pubblico apprezza, perché un formato che protegge chi sbaglia produce match più aperti, esiti meno scontati e sorprese più frequenti, che è la terza cosa che la federazione dichiarava di volere. Su quel piano il set system funziona, e funziona esattamente per la ragione per cui misura peggio: sono la stessa proprietà con due nomi diversi, e quale dei due usare non è una questione che un calcolo possa decidere.

Che cosa il conto non guarda

Tutti questi numeri escono da un modello in cui un arciere è la larghezza del suo gruppo e nient'altro, le frecce sono indipendenti l'una dall'altra e la forma della giornata non esiste. Nessun punteggio di arciere reale entra nel calcolo, e gli arcieri sono profili sintetici definiti dal loro punteggio atteso, quindi la conclusione riguarda il formato di gara e non una popolazione di atleti.

Su un punto il modello si è rivelato fragile in modo interessante, e il saggio lo dichiara. Quando si ammette che il cinque per cento delle frecce sia anomalo, estratto cioè da una dispersione tre volte più larga del normale, il costo del set system scende da 2,32 a 0,68 punti percentuali, meno di un terzo. La ragione è che una freccia buttata via fa più danno nel totale cumulativo che nel formato a set, e quindi il vantaggio del cumulativo si riduce proprio quando le frecce anomale esistono davvero. Quanto siano frequenti sugli arcieri veri nessuno lo sa, perché per stabilirlo servirebbero le coordinate degli impatti e non i soli anelli.

Su altri fronti il risultato invece tiene bene. Cambiare la forma del gruppo, passando da una dispersione circolare a un'ellisse verticale o spostando il centro di tre centimetri, muove il costo di pochi centesimi di punto percentuale, da 2,32 a 2,34 e 2,36: il verdetto non dipende dalla geometria della nuvola. Addensare il centro invece conta, perché portare la quota di X dal ventidue al trenta per cento a punteggio invariato fa salire il costo da 2,32 a 3,13.

Che cosa farsene, sul campo

La conseguenza pratica più immediata riguarda il lunedì dopo una sconfitta. Se hai perso un match ai set avendo totalizzato più punti dell'avversario, e l'avversario era di livello simile al tuo, quel referto vale poco come diagnosi tecnica, perché descrive la situazione in cui il formato ribalta più spesso e in cui nessun formato saprebbe fare meglio. Rimettere mano alla tecnica sulla base di quel risultato significa correggere qualcosa che potrebbe non essere andato storto.

Il referto diventa informativo quando il divario è ampio, perché lì il ribaltamento è raro: perdere ai set contro un arciere molto più debole, avendo totalizzato di più, è un evento che capita circa una volta su sessantanove, e vale la pena capire cosa sia successo nei singoli set. La stessa logica vale a rovescio per chi vince: una vittoria ai set contro un pari livello dice molto meno di quanto sembri sul merito relativo dei due.

C'è infine una conseguenza sulla preparazione, che discende dalle probabilità di set viste prima. Se un quarto delle volate finisce pari e il margine medio con cui si vince un set è inferiore a due punti, allora nel formato a set contano moltissimo le volate decise per un punto, e una freccia recuperata nel set giusto vale quanto tre recuperate in un set già perso. È il motivo per cui la costanza volata per volata pesa nel match a set più di quanto pesasse nel vecchio conteggio, anche se il formato, come si è visto, premia meno chi è costante sull'intero match.

Dove finisce questo discorso

Il conto sul formato è però solo metà della storia, e non la metà più grossa. Lo strumento che stabilisce chi incontra chi, cioè il round di qualificazione, porta un'incertezza molto più grande dell'effetto di cui si discute qui: fra due vicini di classifica il divario tipico è di quattro decimi di punto, e settantadue frecce su un divario del genere indicano il più bravo poco più della metà delle volte. Ne ho scritto per esteso nell'articolo su quanti punti servono per dire che un arciere è più bravo.

Nel saggio ci sono il calcolo completo, la curva del costo distacco per distacco e livello per livello, le prove di robustezza sulla forma della nuvola, il capitolo sui tornei da sessantaquattro arcieri e il pacchetto di codice con cui chiunque può rifare i conti e controllare se i numeri pubblicati sono quelli che il calcolo produce davvero.

Le domande che mi fanno più spesso

Come funziona il set system nel tiro con l'arco?
Il match si spezza in set da tre frecce. Chi in un set totalizza di più prende due punti-set, se il set finisce pari se ne prende uno per uno, e vince il match il primo che arriva a sei punti-set. Il match si chiude quindi in tre, quattro o cinque set, cioè in nove, dodici o quindici frecce. La somma delle frecce non conta: contano i set.

Perché ho fatto più punti e ho perso il match?
Perché dentro un set vincere per un punto vale quanto vincere per dieci, e il margine viene azzerato al confine del set. Chi vince i set stretti e perde quelli larghi può chiudere il match in vantaggio pur avendo totalizzato meno punti. Fra due arcieri di vertice pari accade circa in un match su quattordici, e scendendo di livello supera un match su dieci.

Il set system è meno preciso del punteggio cumulativo?
Sì, ma di poco. Nel punto peggiore, cioè fra un arciere da 692 e uno da 675, su cento match il cumulativo indica il più preciso ottantasette volte e il set system ottantacinque: due match su cento cambiano padrone. Il costo è zero fra arcieri pari, massimo ai distacchi intermedi, e torna a scendere quando il divario è ampio.

Il set system premia davvero la costanza?
No, i conti dicono il contrario. Fra due arcieri con lo stesso punteggio atteso, dei quali uno regolare e uno che ogni tanto piazza una freccia rovinosa, il regolare vince il 48,5 per cento dei match col punteggio cumulativo e il 45,4 col set system. Il formato isola la freccia catastrofica nel set in cui cade, e così protegge chi sbaglia.