A parità di punteggio, contare i dieci premia il peggiore

Fa parte della guida completa: Come migliorare il punteggio nel tiro con l'arco

Sul tavolo dei giudici ci sono due cartellini con lo stesso totale. Gli arcieri hanno tirato lo stesso numero di frecce, hanno chiuso con lo stesso numero scritto in fondo alla colonna, e il regolamento deve comunque metterne uno davanti all'altro. La risposta che tutti conoscono sta nella riga sotto: si contano i dieci, e chi ne ha di più passa.

È un criterio vecchio quanto i cartellini, sembra il più ragionevole che si possa immaginare, e su questo punto l'intuizione comune ha ragione quasi sempre. Il problema è che quasi sempre non comprende il momento in cui quel criterio viene effettivamente usato. Nella sola situazione in cui un giudice lo consulta, cioè quando i due totali sono identici, contare i dieci manda avanti l'arciere meno bravo cinquantacinque volte su cento.

Il conto viene da un lavoro che ho pubblicato nel Laboratorio, dove è svolto per intero, in forma esatta e non simulata, e dove l'autore dichiara anche di aver messo per iscritto la previsione opposta prima di fare il calcolo.

Dove il regolamento conta i dieci

Conviene prima delimitare il campo, perché il criterio ha una fama molto più larga del suo impiego effettivo. Nel regolamento internazionale in vigore, il Book 3 nella versione del marzo 2026, il conteggio dei dieci compare in un posto solo: le parità ordinarie della classifica di qualificazione, dove si guardano prima gli X e poi, se anche quelli pareggiano, i dieci.

Nei match a eliminazione diretta non entra affatto. A cinque pari il regolamento chiede la freccia di spareggio, e nemmeno per le parità che decidono l'accesso alle eliminatorie si va a contare gli anelli. Quello che segue riguarda quindi una regola con un solo impiego formale, ma con un impiego informale molto più ampio: è il modo in cui chiunque, sugli spalti o davanti a un referto, decide quale dei due abbia tirato meglio.

Un'ultima nota di geometria serve a capire il resto. La faccia usata a settanta metri è larga centoventidue centimetri ed è divisa in dieci corone della stessa larghezza, sei virgola uno centimetri l'una. Dentro il dieci c'è un cerchietto più piccolo, di tre centimetri di raggio, chiamato X: vale dieci punti come il resto della corona, ma si conta a parte proprio per rompere le parità.

Perché sembra il criterio più giusto

L'intuizione dietro il conteggio dei dieci è solida e si può verificare. Prendendo due arcieri di livello diverso, per esempio uno che vale in media 690 punti su settecentoventi e uno che ne vale 680, e guardando tutti i match che giocano fra loro, il quadro è esattamente quello che ci si aspetta: il più bravo fa più dieci e butta via meno frecce.

Le prime due righe confermano l'intuizione senza margini di dubbio: nove dieci contro sette e mezzo, e meno della metà delle frecce buttate via. Chi guarda un referto e conta i dieci sta usando un indicatore che, su una popolazione qualunque di match, funziona benissimo.

Le ultime due righe sono la stessa misura fatta sullo stesso modello, con una sola differenza: si guardano soltanto i match in cui i due totali sono venuti uguali. Lì il più bravo fa 8,343 dieci e il meno bravo 8,495, cioè il segno si inverte. La differenza fra i due passa da più uno e cinquantadue a meno zero e quindici, e quello scarto non viene dal rumore della simulazione, dato che il calcolo è esatto.

Che cosa succede guardando solo dove serve

Il fenomeno appena visto ha una causa generale, e conviene spiegarla prima dei numeri perché riguarda qualunque regola di parità e non solo questa. Una parità non è una circostanza neutra che capita per caso a un match qualunque: è il risultato di un filtro che seleziona apposta i referti in cui i punteggi non hanno saputo separare i due arcieri. Misurare una regola su tutti i match e poi applicarla solo alle parità significa promettere una prestazione che nella pratica non si verificherà mai.

Il saggio misura questo scarto per cinque criteri diversi, confrontando quanto ciascuno indovina su tutti i match con quanto indovina sui soli match finiti cinque pari.

Tutte le regole perdono qualcosa, e questo era prevedibile. Quelle che leggono le distanze perdono circa un terzo del proprio vantaggio sulla monetina, quelle che leggono gli anelli ne perdono circa la metà, e il conteggio dei dieci ne perde cinque sesti: da settantuno scende a 53,6, cioè arriva a indovinare quattro volte su cento più di quanto indovinerebbe lanciando una moneta. Fra tutti i criteri esaminati è quello che soffre di più il passaggio alla popolazione in cui viene davvero impiegato.

Il ribaltamento

Il 53,6 della tabella riguarda tutti i match finiti cinque pari, compresi quelli in cui i totali delle quindici frecce sono diversi e il criterio ha quindi qualche appiglio. Restringendo ancora, e guardando soltanto i referti in cui anche i totali sono identici, il numero scende sotto la soglia della moneta: sulla coppia di riferimento il conteggio dei dieci manda avanti il più bravo 44,7 volte su cento, il che significa che ne manda avanti il meno bravo cinquantacinque.

La prima reazione ragionevole è chiedersi se dipenda da quella particolare coppia di arcieri. Il saggio calcola la stessa quantità su otto coppie distribuite lungo tutta la scala, dai due che valgono 700 e 695 punti fino ai due che ne valgono 640 e 600, e la risposta è che sta sotto cinquanta dappertutto.

Sulla coppia più tenue, due arcieri che valgono 700 e 695, il criterio arriva a 48,70 e resta quindi appena sotto il lancio di una moneta. Scendendo di livello peggiora, e nella riga più larga, quella fra un arciere da 640 e uno da 600, si ferma a 36,57, il che vuol dire mandare a casa il più bravo sessantatré volte su cento. Aggiungere gli X come secondo criterio dopo i dieci non ripara niente, perché anche la colonna con i due criteri incolonnati resta sotto cinquanta su tutta la griglia.

La spiegazione è aritmetica

Il motivo del ribaltamento si capisce meglio con un cartellino in mano che con una formula. Due arcieri hanno tirato quindici frecce a testa e hanno chiuso entrambi a centoquaranta punti. Il primo ha fatto undici dieci, quindi centodieci punti, e gli restano trenta punti da distribuire su quattro frecce, che fa una media di sette e mezzo. Il secondo ha fatto nove dieci, cioè novanta punti, e gli restano cinquanta punti su sei frecce, che fa una media di otto e un terzo.

Il primo ha due dieci in più e il regolamento lo manda avanti. Guardando le altre frecce, però, il primo ha qualcosa che il secondo non ha, cioè un paio di tiri decisamente brutti, e sono proprio quei tiri ad avergli lasciato spazio per i dieci in più senza sforare il totale. A totale fissato, ogni dieci in più va restituito da qualche altra parte, e la restituzione avviene sulle frecce basse.

Nel modello questo legame è quasi ferreo. Misurando sulla coppia di riferimento quanto la differenza di dieci fra i due arcieri si accompagni alla differenza di frecce buttate via, sui referti con i totali in parità la correlazione fra le due quantità vale 0,9898, e scende soltanto a 0,9488 su una coppia molto più larga, fra un arciere da 680 e uno da 660. Enunciato con precisione, il risultato è questo: a totale fissato, il conteggio dei dieci misura chi ha concentrato il proprio deficit su meno frecce, e non chi ha tirato meglio.

Va detto che non si tratta di una necessità aritmetica assoluta, perché si possono costruire a tavolino cartellini in cui più dieci convivono con meno frecce buttate via. Il saggio dà esplicitamente il controesempio e lo dichiara: il legame è una proprietà regolare del modo in cui gli arcieri distribuiscono gli errori, non un teorema. Il punto è che quella regolarità tiene su tutta la griglia di coppie che è stata provata.

Perché la cosa è seria

Un criterio che funziona in generale e si inverte in un caso particolare sarebbe già un difetto. Qui la situazione è peggiore, perché il caso particolare in cui si inverte coincide esattamente con l'unico caso in cui il criterio viene consultato. Nessuno conta i dieci di due arcieri che hanno chiuso con totali diversi: si contano i dieci solo dopo una parità, cioè solo dopo che si è verificata la condizione che rovescia il segno della misura.

C'è poi una verifica che chiude la questione su un possibile equivoco. Si potrebbe pensare che il fenomeno dipenda dal cinque pari, cioè da quella particolare forma di parità prodotta dal formato a set. Il saggio rifà il calcolo chiedendo soltanto che i due totali delle quindici frecce coincidano, senza alcun vincolo sui set, e il ribaltamento regge su tutta la griglia, con scarti fra i due e i sette decimi rispetto ai valori precedenti. La causa sta nel pareggio dei totali, non nel modo in cui ci si arriva.

Quanto vale davvero un dieci

Resta da capire perché, fra tutti i modi di leggere un referto, quello tradizionale sia il più fragile. La risposta il saggio la costruisce chiedendosi quanto ciascun anello dovrebbe pesare per distinguere al meglio due arcieri, e confrontando quei pesi con i punti che il regolamento assegna. Riscalati sulla stessa scala da zero a dieci, i pesi che gli anelli meriterebbero risultano fortemente concavi: l'anello 1 meriterebbe 1,9 invece di 1, il 2 ne meriterebbe 3,6 invece di 2, il 5 ne meriterebbe 7,4, e il 9 ne meriterebbe 9,9.

La conseguenza si legge guardando i salti. Passare da una freccia persa fuori bersaglio a una freccia nell'anello 1 vale 1,9 di informazione; passare da un nove a un dieci ne vale 0,15. Sapere che un arciere ha buttato via una freccia e l'altro no dice sulla differenza fra i due dodici volte e mezza più di quanto dica sapere che uno ha fatto dieci dove l'altro ha fatto nove.

Il conteggio dei dieci mette tutto il proprio peso esattamente sull'anello meno informativo che ci sia, e per questo sta in fondo alla graduatoria. Quanto sia determinante la scelta del punto in cui si taglia lo mostra un confronto che vale la pena riportare: contare le frecce sotto il nove indovina 62,4 volte su cento parità, contare quelle sotto il dieci ne indovina 55,9. Due regole identiche tranne che per un anello di spostamento, e sei volte e mezza di differenza nel risultato.

Il conteggio delle frecce brutte ha in più un pregio che nessun altro criterio di questa lista possiede: si verifica dagli spalti senza strumenti, perché contare le frecce sotto il nove è alla portata di chiunque guardi un referto. Da solo indovina 59,3 volte su cento parità, e con la freccia di spareggio in coda arriva a 62,44.

L'anello X è un caso diverso

La domanda successiva riguarda l'altro criterio in uso, cioè il conteggio degli X, che nel regolamento viene prima dei dieci. L'X sfugge al vincolo aritmetico per una ragione strutturale: è una suddivisione interna al dieci, quindi passare da un dieci normale a un X non cambia il totale e non richiede nessuna restituzione altrove. Sui referti con i totali in parità continua infatti a stare sopra la monetina nelle coppie di vertice, con 53,9 sui due arcieri da 700 e 695, 53,1 sulla coppia di riferimento e 54,3 sulla coppia più larga fra quelle di alto livello.

Il vantaggio, però, dipende da quanto l'anello X sia grande rispetto alla nuvola di frecce dell'arciere, e scendendo di livello la nuvola si allarga. Il saggio individua il punto in cui il rapporto fra i due si rovescia intorno a 670 punti su settecentoventi: sopra quel livello l'X porta informazione, sotto si inverte come il conteggio dei dieci. La stessa identica regola, applicata a una gara nazionale invece che a una finale mondiale, cambia segno senza che il testo del regolamento cambi di una virgola.

Che cosa succede nella classifica di qualificazione

Arriviamo al posto in cui il criterio viene formalmente usato, cioè le parità della classifica di qualificazione, e qui serve una precisazione che il saggio stesso mette in evidenza. Tutte le cifre del ribaltamento sono calcolate su referti di match da quindici frecce a testa, non su round da settantadue frecce, e non vanno trasportate di peso da una popolazione all'altra.

Quello che è stato misurato direttamente sulla classifica è un'altra cosa: centoventimila qualificazioni simulate, sessantaquattro arcieri fra 690 e 665 punti, settantadue frecce a testa. Partendo da una classifica in cui i pari merito vengono sorteggiati, il primo classificato è davvero il migliore del campo nel 14,0 per cento dei casi; aggiungendo il conteggio degli X si sale al 14,2; aggiungendo anche il conteggio dei dieci, cioè applicando la regola di oggi per intero, si resta al 14,2. Con un errore standard di un decimo di punto, gli X valgono due decimi e i dieci non valgono niente.

Lo stesso vale per le altre colonne della stessa misura: l'errore medio di posizione passa da 8,62 posti a 8,60 con gli X e risale a 8,61 con i dieci, cioè resta fermo. Ordinando invece la qualificazione per somma dei quadrati delle distanze dal centro, quindi usando l'informazione che le corone buttano via ogni volta che arrotondano, l'errore medio scende a 7,70 posti e la quota di volte in cui i primi otto sono davvero gli otto migliori più che raddoppia.

Su un punto, e lo dico perché il saggio non lo nasconde, il testo del volume non è del tutto coerente con sé stesso: in un capitolo si afferma che il ribaltamento colpisce ovunque si usino i dieci per rompere una parità di totale, e quindi anche in classifica; in un altro si scrive che in classifica i criteri non fanno danno come nel match, perché lì la parità di totale che li rovescia non c'è nello stesso modo, e semplicemente non aggiungono informazione. Le due formulazioni non coincidono, e non mi pare corretto attribuire al lavoro la conclusione più netta delle due. Quello che regge è che in classifica il conteggio dei dieci, misurato, non aggiunge nulla.

Come si legge un cartellino in parità

Per chi guarda un referto e vuole capire chi abbia tirato meglio, la gerarchia che esce da tutto questo è chiara e usa solo dati già scritti sul foglio. Il primo posto dove guardare è il totale delle quindici frecce, che dopo un cinque pari resta identico in circa un terzo dei casi e negli altri due terzi dice qualcosa.

Un solo punto di margine, che è il caso più frequente di tutti, porta già al 60,8 per cento; due punti al 71,3; tre all'80,7. Quel numero è già scritto in fondo alla colonna del cartellino e non richiede nessuna misura aggiuntiva, il che rende difficile spiegare perché nel match non venga mai consultato.

Il secondo posto dove guardare sono le frecce brutte, contando quante ne ha tirate ciascuno sotto il nove. Il terzo, cioè il conteggio dei dieci, è l'unico dei tre che nel momento esatto in cui lo si consulta indica la persona sbagliata. La proposta che il saggio ricava da tutto questo è di toglierlo dai criteri di parità invece di riordinarlo, perché nessun riordino ripara un segno invertito.

Per l'arciere che rilegge una sconfitta, la traduzione è meno tecnica. Se hai chiuso il match con lo stesso totale dell'avversario e hai fatto più dieci di lui, quei dieci non dicono che hai tirato meglio: dicono che i tuoi errori erano concentrati in due o tre frecce invece che distribuiti su molte. Il lavoro da fare, in quel caso, sta sulle frecce peggiori e non su quelle buone, e questo è esattamente il contrario di quello che il conteggio suggerisce.

L'argomento contrario, che il saggio consegna da sé

Tutto quello che ho scritto finora vale sotto il modello di dispersione adottato nel volume, e la dipendenza da quel modello è più forte qui che altrove. È uno studio di modello e non uno studio empirico, nessun dato di gara reale è stato usato, e i punteggi di partenza sono un'assunzione dichiarata.

La verifica che conta è quella che il saggio mette in appendice e che chiama, senza giri di parole, l'argomento di chi difende la regola tradizionale. Se una piccola quota di frecce esce dal comportamento regolare del gruppo, cioè se ogni tanto un arciere tira un colpo anomalo per ragioni che il modello non descrive, il conteggio dei dieci torna informativo. Con tre frecce anomale su cento risale a 52,44, quindi sopra la monetina; con cinque su cento arriva a 55,54; con dieci su cento arriva a 63,85 e diventa un buon criterio.

La frequenza vera di quelle frecce anomale non è stata stimata, e il saggio dichiara di non poterla stimare con i dati esistenti: servirebbero le coordinate degli impatti, perché dagli anelli soli la frequenza e la gravità si confondono fra loro. Chi difende il criterio storico ha quindi un argomento reale da usare, e la discussione si sposta su una quantità che nessuno ha ancora misurato.

Va aggiunto un secondo fattore che lavora nella stessa direzione. Il vento attenua il ribaltamento, portando il valore della coppia di riferimento da 44,66 a 47,27 con sei centimetri di errore da vento e a 48,84 con dieci centimetri, ma in nessuno dei due casi il criterio arriva alla monetina. Interessante, per una volta, è la direzione: quasi tutti gli altri fattori esclusi dal modello lavorano contro la regola tradizionale, e il vento è una delle due sole eccezioni.

Dove finisce questo discorso

La strada che porterebbe davvero fuori dal problema non passa da un criterio migliore fra quelli disponibili, ma dal tipo di dato che si registra. Ordinando per somma dei quadrati delle distanze dal centro, cioè segnando dove la freccia ha colpito invece del solo anello, si indovina 68,8 volte su cento parità, molto più di qualunque regola basata sugli anelli, e la precisione necessaria per farlo è di tre millimetri. Il costo di una strumentazione del genere il saggio dichiara di non saperlo stimare.

Il volume da cui viene questo capitolo continua poi su un piano più largo, dove misura le strutture di tabellone, i formati di match e le graduatorie di stagione, e dove ricostruisce quanto ciascuna scelta di regolamento costi e quanto renda. Il pezzo che riguarda la parità nei match l'ho raccontato in quanto spesso un match finisce cinque pari, e quello che riguarda il piazzamento in quanto vale davvero la classifica di qualificazione.

Quello che resta di questo capitolo è una cosa sola, e riguarda tanto il regolamento quanto il modo in cui ciascuno legge il proprio cartellino: due arcieri che hanno chiuso con lo stesso totale non hanno tirato allo stesso modo, e il foglio lo dice. Basta guardare la casella giusta, che non è quella dei dieci.

Le domande che mi fanno più spesso

Come si rompe una parità nel tiro con l'arco?
Dipende da dove si verifica. Nella classifica di qualificazione, a totale pari, il regolamento internazionale guarda prima il numero di X e poi il numero di dieci. Nei match a eliminazione diretta il conteggio non entra affatto: a cinque pari si tira una freccia di spareggio e vince chi la piazza più vicino al centro.

Chi ha più dieci ha tirato meglio?
Su una popolazione qualunque di match sì, e nettamente: fra un arciere da 690 e uno da 680 il primo fa in media 9,11 dieci su quindici frecce contro 7,59. Guardando soltanto i referti in cui i due totali coincidono, cioè l'unica situazione in cui il criterio viene consultato, il segno si inverte e il conteggio dei dieci indica il più bravo 44,7 volte su cento.

Perché a parità di punteggio contare i dieci indica l'arciere peggiore?
Perché a totale fissato ogni dieci in più va restituito da qualche altra parte. Chi ha più dieci ha perso gli stessi punti concentrandoli su poche frecce molto brutte, mentre l'altro li ha distribuiti su molte frecce mediocri. Nel modello il legame fra i due scarti ha una correlazione di 0,9898, e il conteggio finisce per misurare la concentrazione degli errori invece della qualità del tiro.

Qual è il criterio di parità migliore fra quelli usabili subito?
Il totale delle quindici frecce, che è già scritto sul cartellino: parla in due casi su tre e quando parla ha ragione da sei a nove volte su dieci, dal 60,8 per cento con un punto di margine al 93,4 con cinque o più. Subito dopo viene il conteggio delle frecce sotto il nove, che indovina 62,4 volte su cento parità contro le 55,9 del conteggio dei dieci.