Il primo in qualifica è il più forte una volta su sette

Fa parte della guida completa: Come migliorare il punteggio nel tiro con l'arco

La mattina delle eliminatorie il tabellone è affisso all'ingresso del campo, e accanto al primo nome c'è scritto 1. Quel numero viene letto da tutti nello stesso modo, cioè come un giudizio già emesso: quello è il più forte del campo, ha tirato meglio di chiunque altro il giorno prima, e da lì in avanti ogni suo risultato verrà pesato su quell'etichetta. Se esce ai quarti ha deluso, e se un numero trentadue arriva in semifinale ha sorpreso.

Quel numero, però, dice molto meno di quanto gli si attribuisce, e la distanza fra quello che dice e quello che gli si fa dire si può quantificare. In un campo di vertice il primo classificato è davvero il migliore arciere presente poco più di una volta su sette; i primi otto sono davvero gli otto migliori quattro volte su diecimila; e ciascuno entra in tabellone con un'etichetta sbagliata, in media, di otto posti e mezzo. Niente di tutto questo dipende da errori di conteggio o da giudici distratti: dipende dal rapporto fra quanto è fine la domanda e quanto è preciso lo strumento con cui le si risponde.

I conti che seguono vengono da un lavoro che ho pubblicato nel Laboratorio, dove il calcolo è svolto per intero e le assunzioni sono dichiarate una per una.

Come è fatta una gara

Conviene descrivere la struttura per esteso, perché chi non frequenta i campi la conosce di riflesso e chi li frequenta la dà troppo per scontata. Si comincia con un round di qualificazione in cui tutti tirano settantadue frecce a settanta metri, su una faccia larga centoventidue centimetri e divisa in dieci corone circolari della stessa larghezza, sei virgola uno centimetri l'una, con al centro un anello X di tre centimetri di raggio che si conta a parte e serve a sciogliere le parità. Il massimo teorico è settecentoventi punti, e dai totali di quella giornata esce una classifica da uno a sessantaquattro.

La classifica non assegna nessun titolo e non premia nessuno: stabilisce gli accoppiamenti. Il primo incontra il sessantaquattresimo, il secondo il sessantatreesimo, e così via lungo tutto il tabellone. Da lì la gara diventa eliminazione diretta, con sessantatré match in tutto e sei turni da superare, il primo dei quali conta da solo trentadue incontri. I singoli match si giocano al meglio di cinque set da tre frecce, con due punti-set a chi vince il set e sei punti-set per chiudere il match, che è l'aritmetica di cui ho scritto altrove.

Questo articolo riguarda soltanto il primo anello della catena, cioè che cosa misura la classifica e con quanta precisione. Tutto il resto, dal formato dei set alla freccia di spareggio, viene dopo e non serve a rispondere.

Che cosa vuol dire "il migliore"

Prima dei numeri va dichiarato il criterio, perché senza quello le percentuali non significano niente. Nel lavoro da cui vengono, il migliore è definito in un modo solo e piuttosto stretto: è l'arciere che, mettendosi in linea, si attende in media il punteggio più alto. Nessun'altra qualità entra in quella definizione, e non ci entra per distrazione ma per scelta.

Restano quindi fuori la tenuta nervosa nei finali, la capacità di leggere il vento che gira, la freddezza sulla freccia di spareggio e il talento di rimettersi in piedi dopo un set perso, che sono tutte cose che gli arcieri riconoscono benissimo e che nessuno considera irrilevanti. La conseguenza è precisa: chi non accetta quella definizione di bravura non deve correggere i numeri che seguono, deve respingere la domanda a cui rispondono. È una posizione legittima, a patto che sia chiaro che è quella.

I tre numeri

Il modo per misurare quanto valga una classifica consiste nel far tirare arcieri di bravura nota, cioè con un punteggio atteso deciso in partenza, e poi contare quante volte l'ordine prodotto dalle loro settantadue frecce coincide con l'ordine vero. Ripetendo la cosa su sessantamila round di qualificazione per ciascuno scenario, la risposta smette di dipendere dal caso della singola giornata. Per un campo compatto, con sessantaquattro arcieri distribuiti fra i 690 e i 665 punti, i risultati sono questi.

La prima riga ha una traduzione che rende bene l'ordine di grandezza: in un circuito da sette gare l'anno, la testa di serie numero uno è l'arciere più forte presente una volta sola, e nelle altre sei è qualcun altro a esserlo, senza che nessuno se ne accorga perché il tabellone non lo dice.

La seconda riga merita una lettura lenta, perché è quella che sorprende di più. Che gli otto arcieri seduti nelle prime otto caselle siano davvero gli otto più bravi del campo capita quattro volte su diecimila, cioè meno di una gara su duemila. Ogni volta che si discute di proteggere le teste di serie, quindi, si stanno proteggendo otto arcieri di cui in pratica nessuno costituisce l'insieme giusto.

La terza dice la stessa cosa in una forma più maneggiabile per chi guarda una classifica vera. Otto posti e mezzo di errore medio, su una griglia da sessantaquattro, vogliono dire che chi entra in tabellone come numero cinquanta può benissimo valere il ventesimo, e trovarsi al primo turno contro qualcuno che non avrebbe dovuto incontrare. Vale anche il rovescio, ed è la parte che conviene ricordare quando si legge il proprio nome in fondo alla lista.

Perché una misura buona produce una classifica cattiva

La spiegazione non sta in un difetto della qualificazione, perché come strumento di misura settantadue frecce funzionano benissimo. Messe a confrontare due arcieri distanti dieci punti, li ordinano correttamente novantacinque volte su cento, cioè si sbaglia una volta su venti, che per una misura sportiva è un ottimo risultato e regge il confronto con qualunque altro criterio di selezione in uso.

Il problema nasce dalla domanda che a quello strumento si fa. In un campo di vertice compatto i sessantaquattro concorrenti stanno tutti dentro venticinque punti, il che significa che due vicini di classifica sono separati in media da quattro decimi di punto e non da dieci. Su un divario così le stesse settantadue frecce indicano il più bravo 52,9 volte su cento, quasi come una monetina; e siccome una classifica da sessantaquattro nomi si regge su sessantatré confronti fra vicini, quell'incertezza si somma lungo tutta la lista invece di restare confinata a una coppia.

L'immagine che il saggio usa per dirlo è quella di una bilancia da cucina. La bilancia funziona, e distingue senza esitazioni un sacchetto di farina da un altro che pesa cento grammi di più. Le si sta però chiedendo di mettere in fila sessantaquattro sacchetti che differiscono di un grammo l'uno dall'altro, e su quella richiesta nessuna bilancia da cucina può riuscire, per quanto sia buona.

Quattro decimi di punto, visti sul bersaglio

Per rendersi conto di quanto sia sproporzionata quella richiesta conviene tradurre i punti in qualcosa di fisico, cioè nella larghezza del gruppo che un arciere lascia sulla faccia. Un arciere che vale in media settecento punti tira dentro una nuvola larga 3,78 centimetri; a 690 la nuvola è di 4,46 centimetri, a 680 di 5,14, a 670 di 5,81, a 660 di 6,49, e più si scende di punteggio più il gruppo si allarga con una regolarità quasi perfetta.

Con quella traduzione in mano, dieci punti su settecentoventi smettono di sembrare un dettaglio. Passare da 680 a 690 vuol dire stringere il gruppo di quasi sette millimetri, cioè di circa il quindici per cento della sua ampiezza, e partendo da settecento la stessa decina vale il diciotto per cento. Due arcieri distanti dieci punti si differenziano per qualcosa che un buono strumento riconosce quasi sempre, e infatti settantadue frecce lo riconoscono nel novantacinque per cento dei casi.

Quattro decimi di punto, invece, valgono poco più di mezzo punto percentuale di ampiezza, che su un gruppo da quattro centimetri e mezzo fa poco più di un quarto di millimetro. Chiedere a settantadue frecce di separare due rose che differiscono per un quarto di millimetro significa chiedere una risoluzione che quel numero di tiri non possiede, e la classifica risponde con l'unica cosa che può produrre, cioè un ordine deciso in larga parte dal caso fra i vicini.

Il pedaggio del piazzamento

Un errore di otto posti e mezzo non resta confinato al primo turno, perché il tabellone continua a fidarsi della classifica per tutta la durata della gara. Il lavoro misura questo costo separatamente e lo chiama pedaggio del piazzamento: si calcola facendo girare la stessa identica struttura due volte, una con i piazzamenti veri e una con quelli prodotti dalla qualificazione, e guardando quanto si perde nel passaggio dalla prima alla seconda.

Il risultato è che ogni struttura paga in proporzione a quante volte consulta la classifica. Il tabellone standard, che la interroga una volta sola all'inizio e poi non la guarda più, perde sette decimi di punto percentuale sulla probabilità che il titolo finisca al migliore. Il ripescaggio dei quarti, che la riconsulta per ricollocare chi è stato eliminato, ne perde un punto e sei. Il riseeding, che ricompone gli accoppiamenti a ogni turno e quindi interroga il piazzamento sei volte, ne perde quattro e otto.

Dentro questo risultato c'è un'ironia che vale la pena tenere presente quando si discute di formati, perché le strutture che sulla carta correggono meglio gli accoppiamenti sono anche quelle che si appoggiano di più a una misura imprecisa, e quindi pagano di più per farlo. Non le rende peggiori in assoluto, dal momento che il vantaggio che portano può superare il pedaggio; spiega però perché il bilancio netto risulti sempre più magro di quanto la logica del formato lascerebbe sperare.

Perché una classifica più giusta non basta

Da tutto questo verrebbe naturale concludere che basti migliorare la qualificazione. Il lavoro prova anche quella strada, e il risultato è la parte più istruttiva di tutto il volume: portando l'accordo fra classifica e ordine vero da 0,81 a 0,99, cioè comprando una misura quasi perfetta, il tabellone standard passa dal 9,7 al 10,4 per cento di titoli assegnati al migliore. Dentro l'errore della misura, vuol dire non guadagnare niente.

Il motivo è che il tabellone non consulta la classifica per sapere chi sia il migliore, la consulta per decidere chi incontra chi. Quello che conta davvero è come distribuisce gli avversari lungo tutti e sessantatré i match, e su quella distribuzione una classifica perfetta cambia poco, perché continua a mandare metà del campo a eliminarsi al primo turno. Gli stessi identici dati, applicati a una struttura con riseeding, portano invece dall'11,1 al 14,0 per cento: la stessa misura migliore rende quattro volte tanto, appena la struttura è in grado di usarla.

L'ordine delle operazioni, quindi, è il contrario di quello che si sente proporre più spesso. Prima si cambia la struttura, poi si migliora la misura. Fare il contrario, che è anche la cosa più facile da decidere perché non tocca il regolamento delle finali, non produce risultati misurabili.

Che cosa si guadagna cambiando i criteri

Dentro la qualificazione ci sono poi due leve più piccole, misurate anch'esse perché se ne discute spesso nei campi. La prima sono i criteri con cui si sciolgono le parità di punteggio, cioè il conteggio degli X e poi quello dei dieci: rispetto a una classifica in cui i pari merito vengono sorteggiati, aggiungere gli X porta la probabilità che il primo sia davvero il migliore dal 14,0 al 14,2 per cento, e aggiungere anche il conteggio dei dieci non la sposta di nulla.

La seconda leva è più radicale e consiste nell'ordinare la qualificazione per distanza media delle frecce dal centro invece che per punteggio, recuperando così l'informazione che le corone buttano via ogni volta che arrotondano un impatto al punteggio della zona. Quella funziona: il primo diventa il migliore 15,9 volte su cento invece di 14,2, e l'errore medio scende da 8,6 a 7,7 posti. Sul titolo, però, l'effetto resta di mezzo punto percentuale, per la stessa ragione detta sopra, cioè che una misura migliore serve poco a una struttura che non sa cosa farsene.

Dipende da chi c'è in gara

Tutti i numeri visti finora valgono per un campo compatto, e la stessa qualificazione si comporta molto meglio quando il campo è fatto diversamente. È la correzione che tiene onesto il discorso, perché senza di essa suonerebbe come un'accusa alla misura invece che come la descrizione di un limite.

In un campo disperso, dove fra il primo e l'ultimo corrono settanta punti invece di venticinque, l'errore medio si dimezza abbondantemente e il primo classificato è il migliore quasi una volta su tre. La conseguenza pratica riguarda chi legge i risultati di una gara regionale invece che di una finale di Coppa del Mondo: più il campo è largo, più il piazzamento porta informazione. Il saggio ci mette accanto anche l'osservazione opposta, e cioè che in una gara del genere il migliore si riconosce a occhio, quindi la misura conta meno proprio dove funziona meglio.

La riga che pesa resta la prima, perché un campo di vertice è compatto per definizione: ci si arriva selezionando, e la selezione è esattamente il processo che elimina i lontani e lascia in gara quelli che si somigliano. Man mano che si sale di livello, quindi, la classifica di qualificazione diventa meno informativa e non di più, che è il contrario di come viene letta.

Raddoppiare le frecce non risolve

La proposta ovvia consiste nel tirare di più, e va nella direzione giusta senza cambiare la sostanza. Portando la qualificazione a centoquarantaquattro frecce invece di settantadue, in un campo compatto il primo classificato diventa davvero il migliore nel 18,9 per cento dei casi invece che nel 14,2, i primi otto risultano giusti nello 0,3 per cento e l'errore medio di posizione scende da 8,6 a 6,5 posti.

È un guadagno reale, e costa mezza giornata di gara in più a ogni competizione del calendario. Resta però una classifica che mette il migliore al primo posto meno di una volta su cinque, e il motivo per cui rende così poco è aritmetico: la precisione di una misura ripetuta cresce come la radice del numero di prove, quindi per dimezzare l'incertezza bisognerebbe quadruplicare le frecce, e per portare la qualificazione al livello di affidabilità che tutti già le attribuiscono servirebbe un numero di tiri che nessun calendario può ospitare.

Chi vince davvero il titolo

Passando dalla classifica al torneo completo, la domanda cambia: quanto spesso l'oro finisce al migliore arciere presente in gara. Nel modello, con la struttura in vigore oggi, succede 9,7 volte su cento, cioè una gara su dieci.

Le due cifre vanno tenute separate con attenzione, perché misurano cose diverse e confonderle è facilissimo. Il 14,2 per cento riguarda la classifica, cioè quanto spesso il primo in qualifica è il migliore del campo. Il 9,7 riguarda l'intero torneo, cioè quanto spesso il titolo finisce nelle mani del migliore dopo sei turni di eliminazione diretta. La prima è una proprietà della misura, la seconda una proprietà della gara.

La leva che sposta davvero la seconda cifra sta nella provenienza del piazzamento più che nella precisione della qualificazione. Usando la graduatoria di stagione al posto del punteggio del giorno, e ricomponendo gli accoppiamenti a ogni turno, il titolo va al migliore 13,7 volte su cento invece di 9,7: quattro punti percentuali, che in questo campo sono un miglioramento grosso e costano un cambiamento profondo del regolamento. Anche così, però, in sei gare su sette il titolo continua ad andare a qualcuno che non è il più bravo del campo, e questa è una proprietà dell'eliminazione diretta più che un difetto correggibile.

Che cosa il conto non guarda

Questi numeri escono da uno studio di modello e non da una raccolta di risultati veri, e il saggio lo dichiara nella prima pagina: nessun dato di gara reale è stato usato. Gli arcieri sono profili costruiti, definiti dal loro punteggio atteso, e i tre campi di partecipanti sono composti a tavolino con due sole manopole dichiarate, cioè il livello medio e quanto sono distanti fra loro i concorrenti. Anche i venticinque punti che separano il primo e l'ultimo di un campo compatto sono un'assunzione dichiarata, non una misura fatta sui campi di Coppa del Mondo.

Sui valori simulati il saggio raccomanda di leggere due cifre e non tre, e di considerare inesistenti le differenze inferiori a mezzo punto percentuale: quando scrivo 9,7 o 13,7 quelle cifre portano con sé un margine di qualche decimo, e i confronti vanno fatti con quel margine in mente. La stessa quantità, misurata da corse diverse dello stesso modello, compare altrove con cifre leggermente diverse, allo stesso modo in cui ci si pesa due mattine di fila ottenendo due numeri.

C'è poi una cosa che mi viene chiesta spesso e che il lavoro non dice: quante volte la testa di serie numero uno vinca effettivamente la gara, o esca al primo turno. Quella cifra non c'è, non l'ho ricavata per differenza da altre e non la troverete in questo articolo, perché le due percentuali che ho citato riguardano chi è il migliore del campo e non chi vince. Vale la pena dirlo apertamente, visto che è proprio la domanda che il titolo di un pezzo come questo invita a fare.

Infine, il verso dei limiti è dichiarato ed è tutto nella stessa direzione: quattro delle cinque semplificazioni del modello spingono verso una capacità di distinguere minore di quella calcolata, non maggiore. Il vento, per esempio, allarga i gruppi di tutti e fa salire l'errore di posizione oltre gli 8,6 posti. Che il campo reale stia sotto i valori calcolati resta un'estrapolazione e non una misura, ma nessuna delle semplificazioni note lavora nel verso di rendere la classifica più affidabile.

Che cosa farsene, leggendo una classifica

Per l'arciere la conseguenza pratica è che il proprio numero di piazzamento è un'etichetta rumorosa, e che lo è allo stesso modo quello dell'avversario. Se si è entrati dodicesimi invece che ottavi, quei quattro posti valgono in un campo compatto poco più di un punto e mezzo di punteggio atteso, che è dentro il rumore della misura e non stabilisce nessuna differenza stabile di precisione fra sé e chi sta davanti.

Vale anche il rovescio, e in questa forma è la parte utile da ricordare la sera prima di un match: incontrare il numero uno del tabellone non significa incontrare il migliore del campo, perché quel numero è giusto poco più di una volta su sette. Primo contro sessantaquattresimo, in un campo compatto, non è lo scarto che il tabellone suggerisce, e affrontare quel match convinti del contrario è un modo di regalare mezzo set prima di cominciare.

Per chi allena, la traduzione è che il piazzamento di una singola gara non è materiale su cui costruire una valutazione, mentre lo diventa la serie dei piazzamenti lungo una stagione. Il motivo è lo stesso per cui una media di più gare stringe l'incertezza di un punteggio, e l'ho raccontato in quanti punti servono per dire che un arciere è più bravo di un altro. Le stesse settantadue frecce che dicono poco da sole dicono molto quando diventano trecento.

Dove finisce questo discorso

Il volume da cui vengono questi conti va molto oltre la qualificazione: misura le strutture alternative di tabellone, il ripescaggio, la doppia eliminazione, i formati di match e le graduatorie di stagione, e arriva a un listino di quanto costa e quanto rende ciascuna scelta di regolamento.

Il risultato che tiene insieme tutto è la sproporzione fra ciò di cui si discute e ciò che pesa davvero. Il formato dei match, che è l'argomento su cui si litiga di più, sposta gli esiti di qualche punto percentuale; lo strumento che decide chi incontra chi lascia indeterminato l'ordine di quasi tutte le coppie vicine, e nessuno lo mette in discussione perché produce una lista di numeri che sembra un verdetto.

Le domande che mi fanno più spesso

Come funziona una gara di tiro con l'arco olimpico?
Si comincia con una qualificazione di settantadue frecce a settanta metri su faccia da centoventidue centimetri, per un massimo di settecentoventi punti. Da quei totali esce una classifica che stabilisce soltanto gli accoppiamenti, con il primo contro il sessantaquattresimo e il secondo contro il sessantatreesimo. Poi la gara passa all'eliminazione diretta: sessantaquattro arcieri, sessantatré match, sei turni da vincere tutti per prendersi il titolo.

Quanto è affidabile la classifica di qualificazione?
Poco, in un campo di vertice. Il primo classificato è davvero il migliore del campo 14,2 volte su cento, i primi otto sono davvero gli otto migliori quattro volte su diecimila, e l'errore medio di posizione è di 8,6 posti su una griglia da sessantaquattro. In un campo più disperso i risultati migliorano parecchio: il primo è il migliore nel 32,4 per cento dei casi e l'errore scende a 4,1 posti.

Perché settantadue frecce non bastano a fare una classifica giusta?
Perché la domanda è più fine dello strumento. Due arcieri distanti dieci punti vengono ordinati correttamente novantacinque volte su cento, ma in un campo compatto due vicini di classifica distano quattro decimi di punto, e su quel divario le stesse frecce indovinano 52,9 volte su cento. Sessantaquattro arcieri chiusi dentro venticinque punti sono troppo vicini per essere messi in fila da una misura di quella risoluzione.

Il migliore arciere vince sempre la gara?
No, e non ci va nemmeno vicino. Nel modello il titolo finisce al migliore del campo 9,7 volte su cento. Migliorare la classifica senza toccare il tabellone porterebbe al 10,4 per cento, mentre usare la graduatoria di stagione come piazzamento e ricomporre gli accoppiamenti a ogni turno porterebbe al 13,7. Anche nel migliore dei casi, in sei gare su sette il titolo va a qualcuno che non è il più bravo presente.